1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 北师大版（2019）高中数学必修第二册 第一章 三角函数 第4节 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结 在初中我们就学过三角函数，例 如， …… 但初中所学的三角函数是有很大 局限性的，如图所示的角，该如何求 它们的正弦函数值和余弦函数值呢？ 要解决这个问题，我们就得对三 角函数的概念进行推广. 探究一 导入课题 思考： 在初中，我们就通过研究直角三角形的边角关系，得到了锐角三角 形的三角函数值. 如图， 在中，，，则的正弦、余弦和正 切值分别等于什么？ 当不是锐角时，的正弦、余弦和正切值又该怎么计算？ 新知探究 典例剖析 课堂小结 A B C α ， ， . 对三角函数值进行推广——建立平面直角坐标系. 导入课题 如图，对于锐角，角的终边与单位圆交于点，故是由锐角 唯一确定的，也是由锐角唯一确定的. 过点向轴作垂线，垂足为，在中， ，故 . 由此可知，对于锐角来说， 点的纵坐标是该角的正弦函数值，记作， 点的横坐标是该角的余弦函数值，记作. 新知探究 典例剖析 课堂小结 探究一 一、锐角的正弦函数和余弦函数 导入课题 锐角的正弦函数和余弦函数的定义： 对于每一个锐角，都有唯一的一个点坐标与之对应， 在弧度意义下，，称 为锐角的正弦函数， 为锐角的余弦函数. 新知探究 典例剖析 课堂小结 探究二 导入课题 思考： 如果角不是锐角，刚才所学锐角的三角函数值的定义还成立吗？ 新知探究 典例剖析 课堂小结 成立 探究二 导入课题 如图，给定任意角，作单位圆，角的终边与单位圆的交点为， 点的纵坐标、横坐标都是唯一确定的. 仿照上述锐角三角函数的定义， 把点的纵坐标定义为角的正弦函数值，记作， 把点P的横坐标定义为角的余弦函数值，记作. 新知探究 典例剖析 课堂小结 二、任意角的正弦函数和余弦函数 导入课题 任意角的正弦函数和余弦函数的定义： 对于任意角，都有唯一的一个点坐标与之对应， 在弧度意义下，，称 为锐角的正弦函数， 为锐角的余弦函数. 新知探究 典例剖析 课堂小结 探究三 导入课题 思考： 已知任意角终边上除原点外的一点，如何求角的正弦函数 值、余弦函数值？(教材P15例1) 新知探究 典例剖析 课堂小结 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 解：如图，①当角的终边不在坐标轴上的情况， 设角的终边与单位圆交于点，则点的坐标 为，且， ∵点在角的终边上，则, 分别过点作轴的垂线垂足为. 易知， ∴，即， 又∵点和点在同一象限，所以和的符号相同， ∴， 同理，， ②当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 探究三(教材P15例题) 三、任意角的正、余弦函数值的求法 导入课题 任意角的正、余弦函数值的求法： 设角终边上除原点外的一点，则 ， 其中 新知探究 典例剖析 课堂小结 探究四 导入课题 思考： 在单位圆中，画出下列各个特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐 标，并将各个角的三角函数值填入下表： 新知探究 典例剖析 课堂小结 四、常见特殊角的三角函数值 导入课题 常见特殊角的三角函数值： 新知探究 典例剖析 课堂小结 例2 在单位圆中，. (1)画出角；(2)求角的正弦函数值和余弦函数值. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P15例题 解： (1)如图，以原点为角的顶点，以轴的非负半轴 为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点，过点 作轴的垂线交轴于点，于是 即为所作的角. (2)设点，则，. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P16练习 正 负 负 正 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：单位圆法求三角函数值 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：已知终边上一点求值 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考3：若α＝2，则(　　) A．sin α＞0且cos α＞0 B．sin α＞0且cos α<0 C．sin α＜0且cos α＜0 D．sin α＜0且cos α>0 解：因＜2＜π， 则α＝2是第二象限角， 所以sin α＞0，cos α<0. 故选B. 思考探究：正余弦函数值的符号 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考4：如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在象限 为(　　) A．第一象限 B．第二象限