第67讲 运用分类讨论法解立体几何问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第67讲 运用分类讨论法解立体几何问题 在研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系时往往会出现不同的状况需要分类讨论,在进行空间图形中有关面积和体积计算时,由于某一元素的变动而出现多种结果,也需要运用分类与整合的方法求解. 典型例题 【例1】 已知直线且相距在所确定的平面外,且相距和平面相距,求与间的距离. 【例2】 若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形,试求所有满足上述条件的三棱锥的体积. 【例3】 已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,且,,侧棱与底面成,求它的体积. 【例4】在正三棱柱中, 学科网（北京）股份有限公司 $ 第67讲 运用分类讨论法解立体几何问题 在研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系时往往会出现不同的状况需要分类讨论,在进行空间图形中有关面积和体积计算时,由于某一元素的变动而出现多种结果,也需要运用分类与整合的方法求解. 典型例题 【例1】已知直线且相距在所确定的平面外,且相距和平面相距,求与间的距离. 【分析】 本例是由于图形的位置关系不确定而引起分类讨论的立体几何问题在平面上的射影位置不同,则与的距离也不同,对各种情形都要讨论,否则就容易漏解或无从下手. 【解析】 在上任取一点,作于,则垂足的位置有两种可能: ① 在平行直线与之间,如图所示； ②不在平行直线与之间,如图(b)和图所示. 在平面内,过作与垂直的直线交于,交于,则为与平面的距离,为与的距离.为平行直线间的距离,为间的距离.无论哪种情形,都有 在图中,, ; 在图(b)中,, ; 在图中,,此情况不存在. 因此与间的距离为或. 【例2】若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形,试求所有满足上述条件的三棱锥的体积. 【分析】 三棱锥的三个侧面中只有一个面的形状是完全确定的,即是边长为1的正三角形,另有两个侧面是等腰三角形,实质上形状没有完全确定,构成三棱锥第四个三角形的形状有多种可能性,如图所示,可以是与两个等腰三角形全等,也可以与边长为1的正三角形全等,若两个侧面是全等的等腰直角三角形,则第四个面是以等腰直角三角形的底边为腰、边长1为底的等腰三角形,所以解答本题的关键是构造符合题意的三棱锥,获得完整的解答. 【解析】 符合题意的三棱锥可以有三种. ① 三棱锥中,和是等腰直角三角形,且,而是边长为1的正三角形,则此三棱锥的体积是,见图 ②三棱锥中,和是等腰直角三角形,且,而是边长为1的正三角形,则此三棱锥的体积是,见图(b). ③三棱锥中,和是等腰直角三角形,且,而和都是边长为1的正三角形,取的中点,联结,则且,即平面,又,则是的等腰直角三角形,此三棱锥的体积是,见图. 【例3】已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,且,,侧棱与底面成,求它的体积. 【分析】 在证得平面平面,点在底面上的射影在直线上之后,但点在直线上的位置不能确定,所以要对点的位置分类讨论. 【解析】 平面又平面平面平面则点在平面上的射影一定在直线上,过作垂直于,设. ① 若点在线段的延长线上,联结,如图所示,则是与底面所成的角,即 在中, 在中,, ② 解得 ③ 综上所述,斜三棱柱的体积为或 【例4】在正三棱柱中, 【分析】由于截面与下底面所成的二面角在内变化,以截面为界,变动中的截面可以是等腰三角形(截面的顶点在侧棱上)也可以是等腰梯形(截面等腰梯形的上底在上底面内且,故必须以此分类讨论. 【解析】 如图所示,在正三棱柱中,取的中点, 联结, 就是平面与平面所成二面角的平面角, ①. 截面的面积为. ②当时,过棱的截面是等腰梯形,其中取的中点,联结交于点,联结,如图所示. 是截面与底面所成的所成的二面角的平面角, ,在三棱柱中,, , ,在中, 截面的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $