第二编 专题六 大题专讲 第3讲 定点与定值问题、存在性问题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　第3讲　定点与定值问题、存在性问题 「考情研析」　以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、定值问题、存在性问题，运算量较大，属于难题，热点为直线与椭圆相交为载体的定点、定值问题． 1.定点问题 在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题. 2．定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题． 3．存在性问题的解题步骤 (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． 考向1 定点、定直线问题 例1　(2022·福建模拟)已知椭圆C的中心为O，离心率为.圆O在C的内部，半径为.P，Q分别为C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1－. (1)建立适当的坐标系，求椭圆C的标准方程； (2)A，B是C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上．求证：以AB为直径的圆过定点． 解　(1)以椭圆C的长轴所在直线为x轴，中心O为坐标原点建立直角坐标系xOy， 设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，c为半焦距． 由题意可得＝，b－r＝1－，r＝，a2＝b2＋c2， 解得a＝，b＝c＝1， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)证法一：∵直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，∴直线AB为⊙O的切线． ①当AB⊥x轴时，假设AB与x轴相交于点M，把x＝－代入椭圆C的方程可得＋y2＝1，解得y＝±， ∴|OM|＝|MB|＝|MA|，∴OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°，即以AB为直径的圆过原点O. ②当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y＝kx＋m， ∵直线AB为⊙O的切线， ∴＝，化为3m2－2k2－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化为(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(k2＋1)＋km＋m2 ＝＝0， ∴OA⊥OB，∴以AB为直径的圆过原点O. 综上可得，以AB为直径的圆过定点O. 证法二：∵直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， ∴直线AB与圆O相切． ①当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵AB与圆O相切，∴O到直线AB的距离为＝，即3m2－2k2－2＝0. 由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， x1x2＋y1y2＝＋ ＝＝0， 设P(x，y)是以AB为直径的圆N上的任意一点， 由·＝0，得(x1－x)(x2－x)＋(y1－y)·(y2－y)＝0， 化简得x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0， 故圆N的方程为x2＋y2＋x－y＝0，它过定点O. ②当直线AB垂直于x轴时， 不妨设A，B， 此时·＝0，∴OA⊥OB， 故以AB为直径的圆过点O. 综上，以AB为直径的圆过定点O. 　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 提醒：(1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y＝kx＋b，若b为常量，则直线恒过点(0，b)；若为常量，则直线恒过点. (2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ为参数).解方程组即得定点坐标． (2022·锦州模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设A(－1，0)，B(1，0)，若过F(2，0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明： (ⅰ)点R在定直线上； (ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF. 解　(1)由题意可知 －＝2， 所以点M到点F1(－2，0)与到点F2(2，0)的距离之差为2，且2<|F1F2|＝4， 所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支， 设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，其中2a＝2，2c＝4，所以a＝1，c＝2， 所以b2＝c2－a2＝3，所以曲线C的方程为 x