第二编 专题二 小题专讲 第2讲 三角恒等变换与解三角形-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　　　第2讲　三角恒等变换与解三角形 「考情研析」　三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内容.1.三角恒等变换主要考查：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式；②二倍角公式、半角公式的应用；③辅助角公式的应用．　2.解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视． 1.知识串联 2．结论记忆 (1)常见公式变形 辅助角公式：①a sin α＋b cos α＝sin_(α＋φ)； ②sin 2α＝，cos2α＝；(用tanα表示) ③tan α＝＝．(用2α的正弦、余弦表示) (2)三角形中的三角函数关系 ①sin (A＋B)＝sin_C； ②cos (A＋B)＝－cos_C； ③sin ＝cos_； ④cos ＝sin_． (3)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (4)三角形的面积公式：(R，r分别为△ABC的外接圆、内切圆的半径，p为半周长) S＝ab sin C＝bc_sin_A＝ca_sin_B ＝＝2R2sin A sin B sin C ＝＝pr. 考向1 三角恒等变换 例1　(1)(2022·东北三省三校二模)若tan ＝2tan ，则sin 2x＝(　　) A.－ B． C．－ D． 答案　C 解析　因为tan ＝2tan ，所以＝2×，解得tan x＝－3±2，sin 2x＝＝.当tanx＝－3－2时，＝＝－；当tanx＝－3＋2时， ＝＝－. 综上所述，sin2x＝－.故选C. (2)已知0<α<，－<β<0，cos ＝，cos ＝，则sin α的值为________，α－β的值为________． 答案　　 解析　因为0<α<，所以<α＋<，又cos ＝，所以sin ＝ ＝，所以sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×＝.因为cos ＝，所以sin β＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－，又因为－<β<0，所以cosβ＝ ＝，由前面sinα的求解过程可知，cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.因为0<α<，－<β<0，则0<α－β<π，所以α－β＝. (1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂． (2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，＋α＝－，α＝－等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧． 提醒：对于三角函数的给值求角问题，应选择在该角所在范围内单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 1．(2022·潍坊一模)已知α∈，且3cos2α＋sin α＝1，则(　　) A．sin (π－α)＝ B．cos (π－α)＝－ C．sin ＝－ D．cos ＝－ 答案　A 解析　∵3cos 2α＋sin α＝1，α∈，∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，∴sin α＝或sin α＝－(舍去)，∴cos α＝，sin (π－α)＝sin α＝，cos (π－α)＝－cos α＝－，sin ＝cos α＝，cos ＝－sin α＝－.故选A. 2．求值：＝________． 答案　－ 解析　原式＝ ＝＝ ＝＝－. 考向2 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例2　(1)(2022·广西模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a sin C，c＝a cos B，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　∵c＝a cos B，根据余弦定理可得c＝a，化简可得c2＋b2＝a2，∴△ABC为直角三角形，又b＝a sin C＝a×＝c，故△ABC为等腰直角三角形．故选D. (2)(2022·温州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，＝＋，sin2B－cos2C＝－，则A＝________，△ABC的面积是________． 答案　　 解析　因为＝＋，所以＝＋＝＝＝， 所以cos A＝＝＝，所以b2＋c2＝3a2，即sin2B＋sin2C＝3sin2A，因为sin2B－cos2C＝si