第二编 专题二 小题专讲 第1讲 三角函数的图象与性质-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　　　第1讲　三角函数的图象与性质 「考情研析」　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．　2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点． 1.知识串联 2．结论记忆 (1)诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”． (2)若α∈，则sin α<α<tan α. (3)对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期． (4)三角函数的奇偶性的相关结论 ①若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． ②若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． ③若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝(k∈Z)． 考向1 任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系和诱导公式 例1　(1)(2022·咸阳模拟)已知角α终边上一点P(sin 1180°，cos 1180°)，那么cos (3α＋60°)＝(　　) A．0 B． C．1 D． 答案　D 解析　∵|OP|＝＝1，∴sinα＝cos 1180°＝cos (100°＋3×360°)＝cos 100°＝－sin 10°＝sin (－10°)，cos α＝sin 1180°＝sin (100°＋3×360°)＝sin 100°＝cos 10°＝cos (－10°)，∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cos(3α＋60°)＝cos (－30°＋3k·360°＋60°)(k∈Z)＝cos 30°＝.故选D. (2)(2022·济南模拟)已知α∈，且sin α＋cos α＝，则tan α的值为________． 答案　－ 解析　∵sin α＋cos α＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，∴sin αcos α＝－<0，∴sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝＝(sin α－cos α)2，又α∈，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝，∴sin α＝－，cos α＝，∴tan α＝－. (1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解． 提醒：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 1．(2022·邯郸一模)已知tan α＝－3，则＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　C 解析　因为tan α＝－3，所以＝＝－＝－＝－＝－＝.故选C. 2．(2022·赣州二模)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝(　　) A．－3 B． C．3 D．5 答案　C 解析　因为角α终边上一点P(1，－2)，所以tan α＝＝－2，则＝＝＝＝3.故选C. 考向2 三角函数的图象及应用 例2　(1)(2022·上饶模拟)为得到函数g(x)＝2cos 的图象，只需把函数f(x)＝－2sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　为得到函数g(x)＝2cos 的图象，只需把函数f(x)＝－2sin ＝2cos 的图象向右平移个单位长度即可．故选D. (2)(2022·南京三模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最小正周期为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　如图，S△OBC＝A×3＋A×3＝3A＝3，∴A＝，∴f(x)＝sin (ωx＋φ)，f(0)＝sin φ＝1，∴sin φ＝，∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin ，∴f(3)＝sin ＝0，3ω＋＝π，∴ω＝，T＝＝8.故选D. 1．解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0)的确定方法 (1)A，B由最值确定，即A＝， B＝. (2)ω由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为，对称轴与相邻对称中心之间