第二编 专题二 规范答题系列一 三角函数与解三角形类解答题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

(2022·漳州三模)(12分)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，B，A，D三点共线，△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝2a sin A cos C＋c sin 2A. (1)求∠BAC的大小； (2)若b＝4，c＝2，且________，求AF. 从以下三个条件中任选一个补充到题目中，并解答． ①AE＝3，·＝20； ②△BCD的面积为10，cos ∠AEB＝； ③BE∥AC，CF＝5. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解题思路　(1)利用正弦定理化边为角，并由两角和的正弦公式以及∠BAC的取值范围得解． (2)选择①：先证明AC⊥AD，然后在△BCF中利用·＝20求BF和∠CBF，最后在△ABF中，利用余弦定理求AF； 选择②：先证明BD⊥AC求出BD，AE的值，然后在△ABE中求∠ABE和BE，最后建立平面直角坐标系求出点F的坐标，求AF； 选择③：先求BC，证明BE⊥AB，然后顺次计算AE，BE，BF，∠CBF和∠ABF的余弦值，最后在△ABF中，利用余弦定理求AF. 解　(1)因为2b＝2a sin A cos C＋c sin 2A， 所以由正弦定理，得 2sin B＝2sin2A cosC＋2sin A cos A sin C，(1分) 所以2sin B＝2sin A sin (A＋C)＝2sin A sin B，(2分) 又因为sin B≠0，所以sin A＝1，(3分) 又因为A∈(0，π)，所以∠BAC＝.(4分) (2)选①AE＝3，·＝20. 由展开图可知AE＝AD，CF＝CD，BE＝BF，(6分) 由(1)知∠BAC＝， 又因为b＝4，c＝2，则BC＝2， 因为B，A，D三点共线，且∠BAC＝， 所以AC⊥AD， 因为AD＝AE＝3，所以CF＝CD＝ ＝ ＝5，(7分) 因为·＝||||cos ∠BCF＝20， 在△BCF中，由余弦定理可得 BF2＝BC2＋CF2－2BC·CF cos ∠BCF ＝20＋25－2×20＝5，(8分) 所以BF2＋BC2＝CF2，则∠CBF＝，(9分) 因为sin ∠ABC＝＝，所以cos ∠ABF＝cos ＝－sin ∠ABC＝－，(10分) 在△ABF中，由余弦定理得 AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF cos ∠ABF＝17，所以AF＝.(12分) 选②△BCD的面积为10，cos ∠AEB＝. 由展开图可知AE＝AD，CF＝CD，BE＝BF，(6分) 由(1)知∠BAC＝， 又因为b＝4，c＝2，则BC＝2， 因为B，A，D三点共线，且∠BAC＝， 所以BD⊥AC， 因为△BCD的面积为10， 所以AC·BD＝×4×BD＝10， 所以BD＝5， 又因为AB＝2，所以AD＝3，则AE＝3，(7分) 在△ABE中，cos ∠AEB＝， 则sin ∠AEB＝， 由正弦定理得＝， 则sin ∠ABE＝＝1， 因为∠ABE∈(0，π)，所以∠ABE＝，(8分) 在Rt△ABE中， BE＝ ＝ ＝， 所以BF＝， 在Rt△DAC中， CD＝ ＝ ＝5， 所以CF＝5，(9分) 以A为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(0，－2)，C(4，0)， 设F(x，y)，因为CF＝5，BF＝， 则(x－4)2＋y2＝25， x2＋(y＋2)2＝5，(10分) 由上述两式以及x>0，得 即F(1，－4)，(11分) 所以|AF|＝＝.(12分) 选③BE∥AC，CF＝5. 由展开图可知AE＝AD，CF＝CD，BE＝BF，(6分) 由(1)知∠BAC＝， 又因为b＝4，c＝2，则BC＝2， 因为BE∥AC，AC⊥AB，所以BE⊥AB，(7分) 因为CF＝CD＝5， 在Rt△DAC中，AD＝＝＝3， 所以AE＝AD＝3，(8分) 在Rt△ABE中，BE＝＝＝， 所以BF＝，所以BF2＋BC2＝CF2，则∠CBF＝，(9分) 因为sin ∠ABC＝＝， 所以cos ∠ABF＝cos ＝sin ∠ABC＝－，(10分) 在△ABF中，由余弦定理得 AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF cos ∠ABF＝17， 所以AF＝ .(12分) 第(1)问 由正弦定理化边为角，可得1分 用两角和的正弦公式化简三角等式，可得1分 求出sin A，进而求出∠BAC，可得2分 第(2)问 证明AE＝AD，CF＝CD，BE＝BF，可得2分 第(2)问 选① 证明AC⊥AD，用勾股定理求出CF的值，可得1分 在△BCF中，用余弦定理求出BF，可得1分 用勾股定理逆定理说明∠CBF为直角，可得1分 根据∠ABF＝＋∠ABC和诱导公式求出cos ∠ABF，可得1