第二编 专题二 大题专讲 第3讲 三角函数与解三角形-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　　第3讲　三角函数与解三角形 「考情研析」　在高考解答题中，三角函数、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合问题是必考题型．考查方式多以解三角形为主体，以三角恒等变换作为工具，计算三角形的基本量，也有可能将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题． 1.三角恒等变换的四个策略 (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等． (2)角的配凑：如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．处理三角函数的图象和性质问题的策略 (1)将函数转化为y＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，以便于研究函数的图象和性质． (2)注意从复合函数角度研究函数的性质，即令t＝ωx＋φ，则y＝A_sin_t＋b． (3)注意变通，如求函数y＝cos2x－3cosx＋2与函数f(x)＝(x为锐角)的最小值，我们的思维必须跳出三角函数，借助二次函数或基本不等式来求解． 3．处理解三角形问题的策略 (1)充分利用平面几何图形的性质． (2)出现多个三角形时，选准入手三角形，从条件较多的三角形突破求解． (3)当题目条件中的三角形都不是正弦、余弦定理可解的基本类型时，要注意方程思想的应用． (4)通过三角形中的不等关系(如大边对大角)确定角或边的范围． 考向1 三角恒等变换与三角函数的性质 例1　(2022·北京东城一模)已知函数f(x)＝a sin ωx cos ωx(a>0，ω>0).从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f(x)存在且唯一确定． (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间． 条件①：f＝1； 条件②：f(x)为偶函数； 条件③：f(x)的最大值为1； 条件④：f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)因为f(x)＝a sinωx cos ωx(a>0，ω>0)， 所以f(x)＝a sin 2ωx， 显然当a≠0时f(x)为奇函数，故②不能选， 若选①③，即f(x)＝a sin 2ωx的最大值为1， 所以a＝1，解得a＝2，所以f(x)＝sin 2ωx， 又f＝1， 所以f＝sin ＝1，即ω＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋4k，k∈Z，故f(x)不能唯一确定，故舍去； 若选①④，即f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝a sin 2x， 又f＝a sin ＝1， 所以a＝1，解得a＝2，所以f(x)＝sin 2x； 若选③④，即f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝a sin 2x， 又f(x)的最大值为1， 所以a＝1，解得a＝2，所以f(x)＝sin 2x. (2)由(1)可得g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1＝sin2x－2cos2x＋1＝sin2x－cos 2x＝sin ， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z， 又x∈(0，π)，所以g(x)在(0，π)上的单调递增区间为和. 　求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(应用降幂、辅助角公式等)将其解析式化为y＝A sin (ωx＋φ)＋b，y＝A cos (ωx＋φ)＋b(A，ω，φ，b是常数，且A>0，ω≠0)，y＝A sin2x＋B sinx＋C，y＝A cos2x＋B cosx＋C(A≠0)等形式，再研究其各种性质． 提醒：不能忽视函数的定义域(或题中给定的区间)的要求． (2022·温州模拟)如图，点A，B，D是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的图象与圆C的三个交点，其横坐标分别为，π，，点C，D是函数f(x)的图象与x轴的交点． (1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若f(x0)＝，且x0∈，求sin 2x0. 解　(1)由题可得C，D， ∴函数f(x)的最小正周期为 T＝2×＝π， ∵T＝，ω>0，∴ω＝2. ∵D，由“五点法”可得2×＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，－π<φ<0， ∴φ＝－，∴f(x)＝sin . 由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， ∴函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. (2)∵f(x0)＝，∴f(x0)＝sin ＝，即sin ＝， 由x0∈，得2x0－∈， ∴cos ＝－， ∴sin 2x0＝sin