特色专项增分练 中难解答突破训练(一)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

3套中难解答突破训练 中难解答突破训练(一) 1．(2022·潍坊一模)在①a＝，②AC边上的高为，③sin B＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答． 问题：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，c＝b＋1，________． (1)求c的值； (2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 解　选条件①： (1)a＝， c＝b＋1，由余弦定理cos A＝＝⇒b2＋b－6＝0⇒b＝2⇒c＝b＋1＝3. (2)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD＝30°， 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝， sin B＝＝＝， 则sin ∠ADB＝sin (B＋30°)＝×＋×＝， 在△ABD中，由正弦定理＝， 得AD＝＝＝. 选条件②： (1)AC边上的高为， 由三角形的面积公式b(b＋1)sin A＝×b，解得b＝2，c＝3. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝7， 则a＝. 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD＝30°， 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝，sin B＝＝＝， 则sin ∠ADB＝sin (B＋30°)＝×＋×＝， 在△ABD中，由正弦定理＝， 得AD＝＝＝. 选条件③： (1)sin B＝， 由题意可知B<C， 所以cos B＝＝＝， 因为A＋B＋C＝π， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝， 由正弦定理＝，得＝， 解得b＝2，c＝3. (2)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD＝30°， 则sin ∠ADB＝sin (B＋30°)＝×＋×＝， 在△ABD中，由正弦定理＝， 得AD＝＝＝. 2．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*). (1)求证数列{S}是等差数列，并求出Sn的表达式； (2)数列{an}中是否存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列？请说明理由． 解　(1)因为an(2Sn－an)＝1(n∈N*)， 所以a1(2S1－a1)＝a1(2a1－a1)＝1， 又an>0，所以a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以(Sn－Sn－1)[2Sn－(Sn－Sn－1)]＝1， 得S－S＝1. 又S＝a＝1， 所以{S}是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以S＝n. 因为{an}是正项数列，所以Sn>0.故Sn＝. (2)不存在．理由如下： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 因为a1＝1，所以对于n∈N*， 都有an＝－. 则＝＝＋. 假设存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列， 则2(＋)＝＋＋＋.即＋＝＋. 两边同时平方，得k＋1＋k＋2 ＝k－1＋k＋2＋2 . 即(k＋1)k＝(k－1)(k＋2). 因为k2＋k＝k2＋k－2显然不成立，与假设矛盾， 所以数列{an}中不存在满足要求的连续三项． 3．(2022·石家庄二模)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，P为棱A1B1上一点，且PA＝PB，F为CD的中点． (1)证明：AB⊥PF； (2)若AB＝AD＝PD＝2，当直线PB与平面PCD所成的角为45°，且二面角P－CD－A的平面角为锐角时，求三棱锥B－APD的体积． 解　(1)证明：取AB的中点E，连接PE，EF， ∵PA＝PB，∴PE⊥AB. ∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB， ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥BC， ∴EF⊥AB， ∵PE∩EF＝E，PE，EF⊂平面PEF，∴AB⊥平面PEF， ∵PF⊂平面PEF，∴AB⊥PF. (2)如图，以F为坐标原点，FC所在直线为x轴，EF所在直线为y轴，过F与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(－1，－2，0)，B(1，－2，0)，C(1，0，0)，D(－1，0，0)， 设P(0，a，h)，h为P到平面ABCD的距离， 则＝(1，－2－a，－h)，＝(－1，－a，－h)，＝(－2，0，0)， 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝－h，则z＝a， ∴n＝(0，－h，a)， ∵PD＝2，∴a2＋h2＝3　(*)， 设直线PB与平面PCD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝， 解得a＝0或a＝－， 当a＝0时，平面PCD的法向量为n＝(0，－h，0)，则平面PCD与平面ABCD垂直， 此时二面角P－CD－A的平面角为直角，不符合题意， ∴a＝－，代入(*)，可得h＝， ∴三棱锥B－APD的体积为VB－APD＝VP－ABD＝××2×2×＝. 4．(2022·衡水中学六调考试)十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年