特色专项增分练 中难解答突破训练(三)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

中难解答突破训练(三) 1．(2022·济南二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＋C＝2B，△ABC的面积S＝a. (1)求边c； (2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围． 解　(1)因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝π， 所以B＝， 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝ac＝a， 所以c＝1. (2)由(1)知B＝，c＝1， 在△ABC中，由正弦定理知，＝， 所以a＝＝＝ ＝＋， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得C∈， 所以tan C∈， 故a＝＋∈. 2．(2022·潍坊二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＋2an＝4Sn，数列{bn}满足bn＝(－2). (1)求数列{bn}的前n项和Bn，并证明Bn＋1，Bn，Bn＋2是等差数列； (2)设cn＝(－1)nan＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由a＋2an＝4Sn，得a＋2a1＝4a1， 即a1＝2， 当n≥2时，a＋2an－1＝4Sn－1， 可得a－a＋2(an－an－1)＝4an， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)， ∴数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 则an＝2＋2(n－1)＝2n， bn＝(－2)＝(－2) ＝(－2)n，可得数列{bn}是以－2为首项，－2为公比的等比数列， 则Bn＝＝－＋(－1)n·. Bn＋1＋Bn＋2＝－＋(－1)n＋1·－＋(－1)n＋2·＝－＋(－1)n＋1·＝－＋＝2Bn， 即Bn＋1，Bn，Bn＋2是等差数列． (2)cn＝(－1)nan＋bn＝(－1)n·2n＋(－2)n＝(－2)n＋2·(－1)n·n， 当n为偶数时，Tn＝Bn＋2[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝－＋(－1)n·＋2·＝＋n－； 当n为奇数时，Tn＝Bn＋2[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝－＋(－1)n·－n－1＝－－n－. 综上可知，数列{cn}的前n项和 Tn＝ 3. (2022·深圳模拟)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点． (1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l∥平面PAC； (2)若PC＝AB＝2，点C是的中点，求二面角E－l－C的正弦值． 解　(1)证明：∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC， ∵AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， ∴EF∥平面ABC， 又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l， ∴EF∥l，∵l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， ∴l∥平面PAC. (2)如图，∵AB是圆O的直径，点C是的中点，AB＝2， ∴CA⊥CB，CA＝CB＝， ∵直线PC⊥平面ABC， ∴PC⊥CA，PC⊥CB， ∴以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(0，0，1)，B(0，，0)，E， ∴＝(0，－，1)，＝， 设平面EFB的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝1，则n＝(0，1，)， ∵直线PC⊥平面ABC， ∴＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量， ∴cos 〈，n〉＝＝＝， ∴二面角E－l－C的正弦值为 ＝. 4．(2022·潮州二模)我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p，收益率为－10%的概率为1－p；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为－20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5. (1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若该风投公司准备对以上你认为比较合理的项目进行投资，4年累计投资数据如表： 年份x 2018 2019 2020 2021 μ 1 2 3 4 累计投资金额y (单位：亿元) 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于μ的经验回归方程＝μ＋，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元． 附：收益＝投入的资金×获利期望；经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. 解　(1)若投资光刻机项目，设收益率为X1，则X1的分布列为 X1 0.3 －0.1 P p 1－p 所以E(X1)＝0.3×p＋(－0.1)×(1－p)＝0.4p－0.1. 若投资光刻胶项目，设收益率为X2，则X2的分布列为 X2 0.3 －0.2 0 P 0.4 0.1 0.5 所以E(X2)＝0.3×0.4＋(－0.2)×0.1＋0×0.5＝0.1.