特色专项增分练 中难解答突破训练(二)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

中难解答突破训练(二) 1．(2022·T8第一次联考)已知函数f(x)＝sin cos －cos2＋. (1)设g(x)＝f(－x)，求函数g(x)的单调递减区间； (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边的中点，若f(A)＝，a＝，求线段AD的长的取值范围． 解　(1)由已知，f(x)＝sinx－ ＝sinx－cos x＝sin ， 则g(x)＝f(－x)＝sin ＝－sin ， 所以当g(x)单调递减时，函数y＝sin 单调递增． 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 所以函数g(x)的单调递减区间是，k∈Z. (2)因为f(A)＝sin ＝，A∈(0，π)，则A＝. 又a＝，由余弦定理，得3＝b2＋c2－bc， 即b2＋c2＝bc＋3. 因为D为BC的中点，则2＝(＋)2＝(b2＋c2＋bc)＝(2bc＋3). 因为b2＋c2≥2bc，则bc＋3≥2bc，即0<bc≤3， 所以<||2≤，即<||≤. 所以线段AD的长的取值范围是. 2．(2022·泰安二模)已知数列{an}单调递增，其前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝＋n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)因为Sn＝＋n， 所以当n≥2时，Sn－1＝＋n－1， 两式相减，得Sn－Sn－1＝＋1＝an， 整理得(an－2)2＝a，因为数列{an}单调递增，且a1＝2， 所以当n≥2时，an－2>0，an－1>0， 所以an－2＝an－1，即an－an－1＝2， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝2＋2(n－1)＝2n. (2)bn＝2n·3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)－n. 设Bn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n， 则3Bn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1， 所以－2Bn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝·3n＋1－， 所以2Bn＝·3n＋1＋， 所以Tn＝2Bn－n＝·3n＋1－n＋. 3. (2022·潮州二模)如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG中，FG∥EC，CG⊥EC，点B在正方形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4，CG＝CE，FG＝2. (1)证明：AD⊥EF； (2)求二面角B－FG－E的余弦值． 解　(1)证明：正方形ACDE中，AD⊥CE，平面CEFG⊥平面ABCDE，两平面交线为CE， 所以AD⊥平面CEFG， 因为EF⊂平面CEFG， 所以AD⊥EF. (2)因为平面ABCDE⊥平面CEFG，两平面交线为CE，CG⊥EC，所以CG⊥平面ABCDE，则CA，CD，CG两两垂直． 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为AB＝BC＝，AC＝4，所以点B到AC的距离为1，CG＝CE＝4， 则G(0，0，4)，F(，，4)，B(－1，2，0)，D(4，0，0)，A(0，4，0)， 所以＝(，，0)，＝(1，－2，4). 设平面BFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝4，得n＝(－4，4，3). ＝(－4，4，0)为平面CEFG的一个法向量， 所以cos 〈n，〉＝＝， 由图可知二面角B－FG－E为锐二面角，故二面角B－FG－E的余弦值为. 4．(2022·福州模拟)某种疾病可分为A，B两种类型．为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的. (1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？ (2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m(m>0)元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p(0<p<1)，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期．若p＝，试验人数为1000，试估计该试验用于接种疫苗的总费用． 附：χ2＝. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)设男性患者有x人，则女性患者有2x人，2×2列联表如下： A型病 B型病 合计 男 x 女 2x 合计 3x 假设H0：患者所患疾病类型与性别之间无关联， 根据