特色专项增分练 高难解答突破训练(一)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

3套高难解答突破训练 高难解答突破训练(一) 1．(2022·襄阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点，离心率为e＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1，A2，T为直线l：x＝4上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为定值． 解　(1)依题意可知解得 ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：由题意可知A1(－2，0)，A2(2，0)，T(4，t)(t≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，如图所示， 直线TA1的方程为y＝(x＋2)，直线TA2的方程为y＝(x－2)， 联立方程 消去y得(27＋t2)x2＋4t2x＋4t2－108＝0， ∴－2x1＝，即x1＝， 则y1＝(x1＋2)＝＝， ∴M， 联立方程 消去y得(3＋t2)x2－4t2x＋4t2－12＝0， ∴2x2＝，即x2＝， 则y2＝(x2－2)＝＝， ∴N. ∴kMN＝＝－(t≠±3)， ∴直线MN的方程为y＋＝－， 即y＝－x＋＝－(x－1)，t≠±3， 故直线MN过定点(1，0)， ∴△FMN的周长为定值8， 当t＝±3时，M，N或M，N， ∴MN过焦点(1，0)，此时△FMN的周长为定值4a＝8， 综上所述，△FMN的周长为定值8. 2．已知函数f(x)＝e2x＋aex(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)设g(x)＝a(1－x)ex＋x2，若方程g(x)＝f(x)有三个不同的解，求a的取值范围． 解　(1)f′(x)＝ex(2ex＋a). 当a≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增； 当a<0时，令f′(x)＝ex(2ex＋a)>0，解得x>ln ， 令f′(x)＝ex(2ex＋a)<0，解得x<ln ， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)显然x＝0不是f(x)＝g(x)的解，由f(x)＝g(x)，得a＝(x≠0)， 令h(x)＝－a， 则h′(x)＝， 所以h(x)在(－∞，0)，(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以h(x)至多有三个零点，且这三个零点分别分布在(－∞，0)，(0，1)和(1，＋∞)上． 当a≥－e时，h(1)＝－e－a≤0， 所以h(x)至多有两个零点，不符合题意，舍去； 当a<－e时，h(1)＝－e－a>0， 若x>1，则有h(x)＝－－a<1－－a， 取x1＝4－4a>1，则h(x1)<0，则h(x)在(1，x1)上有一个零点； 若x∈(0，1)，h(x)＝－－a<x－－a，取x2＝∈(0，1)， 则h(x2)<0， 则h(x)在(x2，1)上有一个零点， h(－1)＝－e＋－a>0，若x<－1，h(x)＝－－a<ex－－a， 取x3＝ln －1<－1，则h(x3)<0，h(x)在(x3，－1)上有一个零点， 这说明当a<－e时，h(x)＝0恰有三个不同的解． 综上，a的取值范围为. 3．某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第k(k＝1，2，…，100)个箱子中有k个数学题，100－k个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q. ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知p＋q＝1，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p，q的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 解　(1)①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A，则P(A)＝p2q. ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为P＝p2q＝p2(1－p)＝－p3＋p2， 令y＝－x3＋x2，x∈[0，1]，y′＝－3x2＋2x＝－3x， 所以y在上单调递增，在上单调递减，故x＝时，y取得最大值， 即p＝时，Pmax＝－＋＝. 学生甲在n轮活动中获得奖品的个数X～B(n，P). 由nP＝4，知n≥＝27. 故理论上至少要进行27轮活动， 此时p＝，q＝. (2)设选出的是第k个箱子，连续三次取出题目的方法数为100×(100－1)(100－2). 设数学题为M，物理题为W，第三次取出的是物理题W有如下四种情形： (W，W，W)取法数为(100－k)(100－k－1)·(100－k－2)， (W，M，W)取法数为k(100－k)(100－k－1)， (M，W，W)取法数为k(100－k)(100－k－1)， (M，M，W)取法数为k(k－1)(10