特色专项增分练 高难解答突破训练(三)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

高难解答突破训练(三) 1．(2022·大连模拟)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ，σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ，σ的近似值)，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程X∈[250，400]的概率； (参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973) (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0，1，2，3，…，20)移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”(第19格)，则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”(第20格)，则没有任何优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k到k＋1)；若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k到k＋2)，直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束．设遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn，试证明{Pn－Pn－1}是等比数列，并求参与一次游戏的顾客获得优惠券金额的期望值(精确到0.1万元). 解　(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为＝205×0.1＋255×0.2＋305×0.45＋355×0.2＋405×0.05＝300. (2)∵X～N(300，502)， ∴P(250≤X≤400)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)≈＋＝0.8186. (3)由题可知P1＝，P2＝＋×＝， 遥控车移到第n(3≤n≤19)格有两种可能： ①遥控车先到第n－2格，又掷出反面，其概率为Pn－2； ②遥控车先到第n－1格，又掷出正面，其概率为Pn－1， ∴Pn＝Pn－2＋Pn－1(3≤n≤19)， ∴Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)， ∵P2－P1＝≠0， ∴当2≤n≤19时，数列{Pn－Pn－1}是首项为，公比为－的等比数列， ∴Pn－Pn－1＝·＝， ∴P2－P1＝，P3－P2＝，…，Pn－Pn－1＝， 以上各式相加，得Pn－P1＝＋＋…＋＝， ∴Pn＝＋(2≤n≤19)， 又P1＝适合上式， ∴当1≤n≤19时，Pn＝＋， ∴移到“胜利大本营”的概率P19＝－×， 设参与一次游戏的顾客获得优惠券金额为Y万元，则Y＝3或0， ∴Y的期望E(Y)＝3P19＋0×(1－P19)＝2－≈2.0， ∴参与一次游戏的顾客获得优惠券金额的期望值为2.0万元． 2．(2022·泉州模拟)已知函数f(x)＝(x－m)sin x＋cos x，x∈. (1)当m≤时，讨论f(x)的单调性； (2)若m＝0，f(x)＋1≤a(x－π)，求a. 解　(1)f′(x)＝sin x－sin x＋(x－m)cos x＝(x－m)cos x， 当m＝时，f′(x)＝cos x， 当x∈时，f′(x)≤0恒成立，当且仅当x＝时等号成立， 故f(x)在上为减函数； 当0<m<时，若0≤x<m，则f′(x)<0；若m≤x<，则f′(x)>0；若≤x≤， 则f′(x)<0， 故f(x)在[0，m)上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． 当m≤0时，若0≤x<，则f′(x)>0；若≤x≤，则f′(x)<0， 故f(x)在上为增函数，在上为减函数． (2)m＝0时，f(x)＋1≤a(x－π)，即为x sin x＋cos x＋1≤a(x－π)， 因为任意x∈，x sin x＋cos x＋1≤a(x－π)恒成立， 故g(x)＝x sin x＋cos x＋1－a(x－π)≤0在上恒成立， 而g′(x)＝x cos x－a，g′(π)＝－π－a， 若a>－π，则g′(π)<0，因为g′(x)为不间断函数，所以存在0＜x0＜π，使得∀x∈(x0，π)，总有g′(x)＜0， 故g(x)在(x0，π)上为减函数，故∀x∈(x0，π)，g(x)＞g(π)＝0，这与题设矛盾； 若a<－π，则g′(π)>0， 因为g′(x)为不间断函数， 所以存在>x0>π，使得∀x∈(π，x0)，总有g′(x)>0， 故g(x)在(π，x0)上为增函数，故∀x∈(π，x0)，g(x)>g(π)＝0，这与题设矛盾． 故a＝－π，此时g(x)＝x sin x＋cos x＋1＋π