特色专项增分练 高难解答突破训练(二)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

高难解答突破训练(二) 1．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，). (1)求C的方程； (2)设Q(1，0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点． 解　(1)因为双曲线C的渐近线方程为 y＝±x， 故设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)， 又双曲线C过点P(3，)，所以－()2＝λ， 解得λ＝1， 所以C的方程为－y2＝1. (2)证明：显然直线BQ的斜率不为0， 设直线BQ的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)， D(x2，y2)，A(x1，－y1)， 联立 消去x整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0， 依题意m2－3≠0且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， 直线AD的方程为y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0，得x＝＋x1＝ ＝ ＝ ＝＝3， 所以直线AD过定点(3，0). 2．(2022·柳州三模)若f(x)＝(x－2)2－bx＋2a ln x. (1)当a>0，b＝a时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若b＝0，且f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>1. 解　(1)因为f(x)＝(x－2)2－bx＋2a ln x， 当a>0，b＝a时，f′(x)＝x－2－a＋ ＝＝(x>0)， 令f′(x)＝0，解得x＝a或2， 当a>2时，则0<x<2或x>a时，f′(x)>0，2<x<a时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，2)，(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减， 当a＝2时，f′(x)＝≥0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当0<a<2时，则0<x<a或x>2时，f′(x)>0，a<x<2时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，a)，(2，＋∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减． (2)证明：当b＝0时，f(x)＝(x－2)2＋2a ln x， f′(x)＝x－2＋＝(x>0)， 因为函数f(x)有两个极值点，所以方程x2－2x＋2a＝0有两个正根x1，x2， 则且Δ＝4－8a>0， 解得0<2a<1， f(x1)＋f(x2)＝(x1－2)2＋2a ln x1＋(x2－2)2＋2a ln x2＝(x＋x)－2(x1＋x2)＋2a ln x1x2＋4＝(x1＋x2)2－x1x2－2(x1＋x2)＋2a ln x1x2＋4＝2a ln 2a－2a＋2， 令t＝2a，h(t)＝t ln t－t＋2(0<t<1)， 则h′(t)＝ln t<0， 所以y＝h(t)在(0，1)上单调递减， 所以h(t)>h(1)＝1，即f(x1)＋f(x2)>1. 3．(2022·菏泽二模)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，抛物线E上不同的两点M，N只能同时满足下列三个条件中的两个： ①|FM|＋|FN|＝|MN|； ②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8； ③直线MN的方程为x＝6p. (1)问M，N两点只能满足哪两个条件(只写出序号，无需说明理由)？并求出抛物线E的标准方程； (2)如图，过F的直线与抛物线E交于A，B两点，过A点的直线l与抛物线E的另一交点为C，与x轴的交点为D，且|FA|＝|FD|，求△ABC面积的最小值． 解　(1)只能同时满足的条件为②③， 由|OM|＝|ON|＝|MN|知△OMN为等边三角形，且MN⊥x轴， 由x＝6p，得y2＝2p·6p，则y＝±2p， 得|MN|＝4p＝8， ∴p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x. (2)依题意可知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，点A在x轴的上方，则x1>0，y1>0，y1y2＝－4，x1x2＝＝1，m＝， ∴|AB|＝x1＋x2＋2＝x1＋＋2， 由|FA|＝|FD|，得D(x1＋2，0)，则直线AD：y＝－(x－x1－2)，联立y2＝4x，得C， ＝ ＝， ∴点C到直线AB的距离 d＝ ＝ ＝， ∴S△ABC＝|AB|d ＝·· ＝ ＝ ＝2≥16，当且仅当x1＝1时，△ABC的面积取到最小值16. 4．(2022·泰安一模)已知函数f(x)＝a ln (x＋1)＋－x，其中a为非零实数． (1)当a＝－1时，求f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：f(－x1)＋f(x2)>x1. 解　函数f(x)的定义域为(－1，＋∞). (1)当a＝－1时，f(x)＝－ln (x＋1)＋－x， f′(x)＝＋x－1＝， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)， 当x∈(－1，)时，f′(x)<0，f(x