第一编 第6讲 填空题的解题法-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第6讲　填空题的解题方法 「题型特点解读」　填空题不像解答题能分步得分，因此要保证填写的结果正确，否则前功尽弃．解题时，要合理地分析和判断，要求推理、运算的每个步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求． 方法1 直接法 对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法． 例1　(2022·连云港二模)曲线f(x)＝xi(i≥2，i∈N)在x＝2处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为Si，则Si＝____________，iSi＝____________． 答案　×2i　(n2－2n＋3)×2n＋2－12 解析　f(x)＝xi(i≥2，i∈N)的导数为f′(x)＝ixi－1，可得曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－2i＝i×2i－1(x－2)，当x＝0时，y＝2i(1－i)，当y＝0时，x＝2－，则Si＝×2i(i－1)×＝×2i.设Tn＝12×22＋22×23＋32×24＋…＋n2×2n＋1　①，2Tn＝12×23＋22×24＋32×25＋…＋n2×2n＋2　②，①－②可得－Tn＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－1)×2n＋1－n2×2n＋2　③，－2Tn＝23＋3×24＋5×25＋…＋(2n－1)×2n＋2－n2×2n＋3　④，③－④可得Tn＝22＋24＋25＋…＋2n＋2－(2n－1)×2n＋2＋n2×2n＋3－n2×2n＋2＝4＋＋(n－1)2×2n＋2＝(n2－2n＋3)×2n＋2－12. 　对于计算型的试题，我们在计算过程中要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 答案　1 解析　设g(x)＝a·2x－2－x.因为函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是R上的偶函数，函数h(x)＝x3是R上的奇函数，所以函数g(x)＝a·2x－2－x是R上的奇函数，故g(0)＝a·20－2－0＝a－1＝0，因此a＝1. 2．(2022·盐城一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3b，则cos B的最小值是________． 答案　 解析　因为a＝3b，则cos B＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝时取等号，此时cos B取得最小值. 方法2 特殊值法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论． 例2　(1) (2022·张家口一中模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·＝________． 答案　 解析　所求的问题是个定值问题，“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等，所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等腰三角形ABC中”．如下图， ·＝(x，3y)·(－x，3y)＝－x2＋9y2＝4，·＝(x，y)·(－x，y)＝－x2＋y2＝－1，解得x2＝，y2＝.则·＝(x，2y)·(－x，2y)＝－x2＋4y2＝. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________． 答案　－8 解析　根据函数特点取f(x)＝sin x，再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6)×2＋2×2＝－8. 　求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________． 答案　 解析　令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝. 方法3 图象分析法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题．Venn图、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形. 例3　已知函数f(x)＝|2x－a|－kx－3，给出下列四个