第一编 第4讲 转化与化归思想-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第4讲　转化与化归思想 「思想方法解读」　转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是将复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题． 常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等． 热点1 特殊与一般的转化 例1　直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________． 答案　2　1 解析　根据题意，有＝1，所以p＝2. 解法一：(特值法)当AB∥y轴时，＋＝＋＝1. 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB过焦点，所以x1x2＝，则＋＝＋＝＝＝＝1. 　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． 对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案． P是双曲线x2－y2＝1上一点，以线段PO(O为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A，B两点，则四边形PAOB的面积为(　　) A． B． C．1 D．2 答案　B 解析　如图，由题意，点P为双曲线上任意一点，不妨设点P为双曲线的右顶点，即P(1，0).易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的两条渐近线互相垂直．因为OP为圆的直径，点A，B在圆上，所以∠OAP＝∠OBP＝90°.又点P(1，0)到两条渐近线的距离均为，所以四边形PAOB为正方形，所以S四边形PAOB＝＝.故选B. 热点2 函数、方程、不等式间的转化 例2　(1)(2022·南通一模)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　) A.sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos α>sin β D．sin α>cos β 答案　D 解析　由α＋β－>sin β－cos α得，β－sin β>－α－sin ，因为α，β为锐角，所以－α∈，令f(x)＝x－sin x，x∈，f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在上单调递增，所以β>－α，cos β<cos ，所以cos β<sin α.故选D. (2)(2022·衡水二模)记函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不大于x的最大整数，g(x)＝若方程f(x)＝g(x)在区间[－5，5]上有7个不同的实数根，则实数k的取值范围为________． 答案　 解析　作出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示． 方程f(x)＝g(x)在区间[－5，0)上有3个实数根，故在区间[0，5]上有4个不同的实数根．当直线y＝kx经过点(4，1)时，k＝；经过点(5，1)时，k＝.若在区间[0，5]上有4个不同的实数根，则k∈. 　函数、方程与不等式相互转化的应用 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题． 已知函数f(x)＝ln x－m与g(x)＝－x2＋x的图象在区间[1，3]上存在关于x轴对称的点，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由题可知函数f(x)＝ln x－m与y＝x2－x的图象在区间[1，3]上存在公共点，即方程ln x－m－x2＋x＝0在区间[1，3]上有解，即方程m＝ln x－x2＋x在区间[1，3]上有解．令h(x)＝ln x－x2＋x(x∈[1，3])，则h′(x)＝－2x＋＝－，所以当x∈[1，3]时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表： x 1 3 h′(x) ＋ 0 － h(x)  ln ＋  ln 3－2 由上表可知h(1)＝，h(3)＝ln 3－2<，h＝ln ＋，所以当x∈[1，3]时，h(x)∈，故m的取值范围是.故选A. 热点3 正难则反的转化 例3　已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　f′(x)＝2ax－1＋. (ⅰ)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，则f′(x