第一编 第3讲 分类与整合思想-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第3讲　分类与整合思想 「思想方法解读」　分类与整合思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳． 常见的分类整合问题有以下几种：①由概念引起的分类整合；②由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；③由数学运算引起的分类整合；④由图形的不确定性引起的分类整合；⑤由参数的变化引起的分类整合． 热点1 由概念、公式、定理引起的分类与整合 例1　(1)(2022·石家庄模拟)小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字： 比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 答案　D 解析　由题意可得，用2根火柴棒表示数字1；3根火柴棒表示数字7；4根火柴棒表示数字4；5根火柴棒表示数字2，3或5；6根火柴棒表示数字6或9；7根火柴棒表示数字8，数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位数的个数为CCA＋CCA＝20.故选D. (2)设{an}是无穷等差数列，公差为d，前n项和为Sn.若S9＝0，且a2＋a3＋a4＋a5＝－18，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　由题意知， 即解得 故an＝3n－15，所以当1≤n≤5时，an≤0， 故Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an＝－＝－n2＋n； 当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(－a1－a2－…－a5)＋a6＋…＋an＝Sn－2S5＝n2－n＋60. 所以Tn＝ 　解决由概念、公式、定理引起的分类整合问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标． 第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理． 1．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1.则数列{an}的通项公式是________． 答案　an＝ 解析　①当n＝1时，由已知可得a1＝2a2，即a2＝a1＝.②当n≥2时，由已知Sn＝2an＋1(n∈N*)，可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＝2an＋1－2an⇒2an＋1＝3an，即＝，所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，故当n≥2，n∈N*时有an＝·.所以an＝ 2．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝，解这个三角形． 解　由正弦定理，得sin B＝＝＝，又b＝>a＝1，所以B＝或B＝.当B＝时，C＝，所以c＝＝＝2；当B＝时，C＝，a＝c＝1. 热点2 由图形位置或形状引起的分类与整合 例2　(1)过点(4，5)与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有(　　) A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 答案　B 解析　根据题意，双曲线－＝1，其中a＝4，①当过点(4，5)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时显然与双曲线只有一个公共点．②当过点(4，5)的直线的斜率存在时，设为k，则直线方程为y＝k(x－4)＋5，代入双曲线方程可得(25－16k2)x2＋16(8k2－10k)x－16(16k2－40k＋50)＝0　(*)，(ⅰ)当25－16k2＝0即k＝±时，经代入检验得，当k＝－时方程(*)有唯一解，此时直线与双曲线有一个交点，满足题意；(ⅱ)当25－16k2≠0时，令Δ＝162(8k2－10k)2＋64(16k2－40k＋50)(25－16k2)＝0，解得k＝，不符合题意．综上，满足题意的直线有两条．故选B. (2)求函数f(x)＝－x(x－a)在[－1，1]上的最大值． 解　函数f(x)＝－＋的图象的对称轴为直线x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论． ①当a<－2时，由图1可知，f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)； ②当－2≤a≤2时，由图2可知，f(x)在[－1，1]上的最大值为f＝； ③当a>2时，由图3可知，f(x)在[－1，1]上的最大值为f(