第一编 第2讲 数形结合思想-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第2讲　数形结合思想 「思想方法解读」　数形结合思想是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化． 数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题． 热点1 数形结合化解方程、函数零点问题 例1　(多选)(2022·保定模拟)已知a，b分别是方程2x＋x＝0，3x＋x＝0的两个实数根，则下列结论正确的是(　　) A．－1<b<a<0 B．－1<a<b<0 C．b·3a<a·3b D．a·2b<b·2a 答案　BD 解析　函数y＝2x，y＝3x，y＝－x在同一坐标系中的图象如图所示，所以－1<a<b<0，所以2a<2b，3a<3b，0<－b<－a，所以－b·2a<(－a)·2b，－b·3a<(－a)·3b，所以a·2b<b·2a，a·3b<b·3a.故选BD. 　用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. (2022·湖南师大附中模拟)若关于x的方程－mx－3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ 答案　B 解析　根据题意，函数y＝与y＝mx＋3的图象有两个交点．因为y＝ 的图象是以点D(1，0)为圆心，1为半径的上半圆，直线l：y＝mx＋3过定点(0，3)，由图可知，直线l介于直线AB和AC之间，且包括AB，但不包括AC.直线AB的斜率为k1＝＝－，由点D到直线AC的距离等于1可得直线AC的斜率k2＝－，所以实数m的取值范围是.故选B. 热点2 数形结合化解不等式问题 例2　(2022·新余模拟)已知函数f(x)＝ln x＋mx2＋x，若f(x)≥0的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　f(x)≥0，即ln x＋mx2＋x≥0，即mx2＋x≥－ln x，因为x>0，所以mx＋1≥－，令g(x)＝－，则g′(x)＝－，当0<x<e时，g′(x)<0；当x>e时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，画出g(x)的大致图象如图所示．当直线y＝mx＋1与g(x)的图象相切时，设切点为，则解得当直线y＝mx＋1过点B时，m＝＝－，故m的取值范围是. 　数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式． (2022·北京平谷区模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，0) D．∅ 答案　B 解析　∵函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，∴不等式f(x)>0，即log2(x＋1)>|x|.作出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，它们的图象都经过(0，0)和(1，1)两点，故不等式f(x)>0的解集为(0，1).故选B. 热点3 数形结合化解平面向量问题 例3　(多选)(2022·济南模拟)已知四边形OABC和四边形ODEF为正方形，＋3＝0，·＝12.则下列说法正确的是(　　) A．||＝3 B．||＝1 C．·＝3 D．·＝－2 答案　ACD 解析　因为＋3＝0，所以O，C，D三点共线，且OC＝3OD，又因为四边形OABC和四边形ODEF为正方形，所以A，O，F三点共线，且AF⊥CD.建立平面直角坐标系如图．设OD＝a(a>0)，则＝(0－(－a)，3a－0)＝(a，3a)，＝(3a，3a).因为·＝3a2＋9a2＝12a2＝12，所以a＝1，所以＝(0，3)，||＝3，A正确；＝(－1，－1)，||＝，B错误；·＝(0，－3)·(－3，－1)＝0×(－3)＋(－3)×(－1)＝3，C正确；·＝(1，3)·(1，－1)＝1×1＋3×(－1)＝－2，D正确．故选ACD. 　建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解． 已知a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|