第一编 第1讲 函数与方程思想-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第1讲　函数与方程思想 「思想方法解读」　函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、用函数单调性比较大小、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可以利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题． 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量等问题． 热点1 函数与方程思想在不等式中的应用 例1　(1)(2022·日照二模)设a＝sin 1，则(　　) A．log0.5a<a2<2a B．log0.5a<2a<a2 C．a2<2a<log0.5a D．a2<log0.5a<2a 答案　A 解析　因为a＝sin 1∈，所以a2∈，2a>1，log0.5a<log0.5＝，所以log0.5a<a2<2a.故选A. (2)(2022·南平模拟)对任意的x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，x1－x2－ln >0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．[9，＋∞) D．(9，＋∞) 答案　C 解析　x1－x2－ln >0，即x1－ln x1>x2－ln x2，令f(x)＝x－ln x，由题意得f(x)在(1，3]上单调递减，故f′(x)＝1－≤0，即a≥3x在(1，3]上恒成立，则a≥9.故选C. 　函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题． 1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 答案　B 解析　把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数f(t)＝2t－5－t，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.故选B. 2．(2022·湖南新高考教研联盟第一次联考)若关于x的不等式aex＋bx＋c<0的解集是(－1，1)，则(　　) A．b>0 B．a＋c>0 C．a＋b＋c>0 D．8a＋2b＋c>0 答案　D 解析　显然a>0，不等式可化为ex<－x－，在同一直角坐标系中作出函数y＝ex，y＝－x－的图象，依题意，两图象交点的横坐标为－1，1，则－>0，－>1，所以b<0，－c>a，A，B错误；当x＝1时，ae＋b＋c＝0，而a＋b＋c<ae＋b＋c＝0，C错误；当x＝2时，ae2＋2b＋c>0，则8a＋2b＋c>ae2＋2b＋c>0，D正确．故选D. 热点2 函数与方程思想求最值、范围 例2　(1)(2022·湖南省雅礼十六校第二次联考)某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为(　　) A．2 B． C． D．1 答案　A 解析　如图，设∠APB＝θ，当AB过点O时，PA＝PB＝2，AB＝2.由余弦定理可得θ＝.则截面面积S＝|PA|·|PB|sin θ＝2sin θ，θ∈，∴当θ＝时，S有最大值，为2.故选A. (2)(2022·贵阳模拟)设等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10，则a1a2…an的最大值为________． 答案　1024 解析　设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a3＝20，a2＋a4＝10，∴解得a1＝16，q＝，∴an＝16×＝25－n，∴a1a2·…·an＝24＋3＋…＋(5－n)＝2＝2，当n＝4或n＝5时，a1a2…an取得最大值，为210＝1024. 　用函数的观点处理数列问题，要注意数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数．解决参数范围问题或最值问题的关键是根据题目找到合适的变量及函数模型，利用函数的最值求解． 1．(多选)(2022·深圳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则(　　) A．a5＝0 B．{an}的前n项和中S5最小 C．nSn的最小值为－49 D．的最大值为0 答案　BC 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则解得所以an＝(2n－11)，a5＝－，A错误；Sn＝(n2－10n)＝(n－5)2－，当n＝5时取得最小值，B正确；nSn＝－n2，设函数f(x)＝－x2(x∈N*)，则f′(x)＝x2－x，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，又6<<7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以最小值为－49，C正确；＝(n－10)，没有最大值，D错误．故选BC. 2. (2022·合肥市调研检测)如图，在△ABC中，CA＝CB＝，AB＝3，D为AB的中点，点F是BC边上异于点B，C的一个动点，EF⊥AB，