第二编 专题一 第3讲 不等式-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第3讲　不等式 「考情研析」　1.利用不等式性质比较大小、利用基本不等式求最值是高考的热点．　2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围． 1.知识串联 2．结论记忆 (1)若a>b>0，m>0，则一定有 >. (2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 (4)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (5)≥0(≤0)⇔ (6)≤≤≤ (a，b∈R＋)(当且仅当a＝b时取“＝”). 考向1 不等式的性质 例1　(1)(2022·福州一模)“0<a<b”是“a－<b－”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　解法一：∵a－－b＋＝(a－b)，∴①若0<a<b，则a－－b＋<0，即a－<b－，∴充分性成立；②若a－<b－，则(a－b)<0，不一定可以推出0<a<b，如a＝－5，b＝－2时，(a－b)<0，但a<b<0，∴必要性不成立．故选A. 解法二：令函数f(x)＝x－，则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为增函数，∴0<a<b⇒f(a)<f(b)，即a－<b－.另一方面，取a＝－1，b＝2，则a－＝0，b－＝>0，满足a－<b－，但不满足0<a<b，即a－<b－ 0<a<b.综上，“0<a<b”是“a－<b－”的充分不必要条件．故选A. (2)(多选)(2022·重庆模拟)若a＞b＞0＞c，则(　　) A．> B．> C．ac>bc D．a－c>2 答案　ABD 解析　－＝，∵a>b>0>c，∴ab>0，b－a<0，c<0，∴>0，∴>，故A正确；－＝＝，∵a>b>0>c，∴a－c>0，a>0，b－a<0，c<0，∴>0，∴>，故B正确；y＝xc，当c<0时，y在(0，＋∞)上单调递减，∵a>b，∴ac<bc，故C错误；∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴a－c>b－c＝b＋(－c)≥2，故a－c>2，故D正确．故选ABD. (3)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________． 答案　[5，10] 解析　解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10. 解法二：由得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10. 1．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 类型 解题策略 不等式成立问题 熟记不等式性质的条件和结论是基础，注意不等式性质成立的前提条件 与充分、必要条件相结合问题 用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用 与命题真假判断相结合问题 可采用特殊值验证的方法判断一个命题是假命题，要判断一个命题为真命题，除根据不等式的性质求解外，还要注意指数函数、对数函数性质的应用 2.比较两个数(式)大小的两种方法 提醒：两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”，即a＞b＞0⇒<，a＜b＜0⇒>. 1．(2022·湖南三模)“a＋b>1”是“a2－b2＋2b>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　若a2－b2＋2b>1成立，则a2>b2－2b＋1，即a2>(1－b)2，即|a|>|1－b|，由a＋b>1可得a>1－b，但不一定得出|a|>|1－b|，反之，由|a|>|1－b|也不一定能得出a>1－b，所以“a＋b>1”是“a2－b2＋2b>1”的既不充分也不必要条件．故选D. 2．(多选)(2022·汕头二模)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是(　　) A.ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ab>ac 答案　BCD 解析　因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.故选BCD. 3．(多选)设x，y为实数，且满足1≤x≤4，0<y≤2，则下列结论错误的是(　　) A．1<x＋y≤6 B．1<x－y≤2 C．0<xy≤8 D．≥2 答案　BD 解析　∵1≤x≤4，0<y≤2，∴1<