第二编 专题一 第2讲 复数与平面向量-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

第2讲　复数与平面向量 「考情研析」　1.复数是高考必考内容，主要考查复数的概念与四则运算．多为选择题、填空题，难度为中低档．　2.高考对平面向量的考查主要有三个方面：①考查平面向量的基本定理及基本运算，多以考生熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档；②考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；③向量作为工具，还可能与三角函数、解三角形、不等式等知识结合考查． 1.知识串联 2．结论记忆 (1)三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ⇔＝(1－λ)＋λ⇔＝x＋y(其中x＋y＝1).(注：O为平面内异于A，P，B的任一点，λ∈R，λ≠0，x∈R，y∈R) (2)向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)． (3)两个恒等式 ①a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]； ②2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2. (4)向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (5)三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 ①O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝； ②O为△ABC的重心⇔＋＋＝0； ③O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·； ④O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0． (6)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．(其中n为整数) (7)对于任意复数z，有|z|2＝||2＝z. 考向1 复数的有关概念及其几何意义和四则运算 例1　(1)(2022·济南二模)已知i是虚数单位，复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．2 答案　B 解析　由z＝(a2－1)＋(a＋1)i是纯虚数，得解得a＝1.故选B. (2)(2022·长沙市雅礼中学一模)已知复数z满足|z|＋z＝8＋4i，则z＝(　　) A．3＋4i B．3－4i C．－3＋4i D．－3－4i 答案　A 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以a＋bi＋＝8＋4i，故解得故z＝a＋bi＝3＋4i.故选A. (3)(多选)(2022·武汉模拟)已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下列说法正确的是(　　) A．z2＝ B．|z1|＝ C．|z1＋z2|≥2 D．12＝－i 答案　ABD 解析　∵两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，∴z2＝＝＝＝－＋i，故A正确；∵z1z2＝i，∴|z1||z2|＝|i|＝1，∴|z1|＝，故B正确；∵z1＋z2＝1－i－＋i＝－i，∴|z1＋z2|＝＝<2，故C错误；∵1＝1＋i，2＝－－i，∴12＝－(1＋i)(1＋i)＝－i，故D正确．故选ABD. (1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数． (2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再代入条件，用待定系数法解决． 提醒：(1)正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去． (2)如果两个复数不全是实数，那么就不能比较大小．如果两个复数能比较大小，那么这两个复数全是实数． 1．(2022·锦州模拟)已知复数z＝，则复数z的虚部为(　　) A．3 B．－3 C．3i D．－3i 答案　B 解析　∵z＝＝＝－2－3i，∴复数z的虚部为－3.故选B. 2．(2022·漳州二模)复数z满足|z－(5＋5i)|＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－(5＋5i)＝a－5＋(b－5)i，∵|z－(5＋5i)|＝2，∴(a－5)2＋(b－5)2＝4，∴复数z在复平面内对应的点Z在以(5，5)为圆心，2为半径的圆上，故z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．故选A. 3．(2022·长春模拟)已知复数z满足|z－2|＝|z－1－i|(i为虚数单位)，则|z－2i|＋|z|的最小值为________． 答案　 解析　解法一：由|z－2|＝|z－1－i|，知复数z在复平面内对应的点Z到点M(2，0)与点N(1，1)的距离相等，即点Z的轨迹为线段MN的垂直平分线，易求得点Z的轨迹方程为x－y－1＝0. |z－2i|＋|z|表示的几何意义是直线x－y－1＝0上的动点Z到定点A(0，2)与原点O(0，0)的距离之和，如图所示，易知原点O(0，0)关于直线x