第二编 专题五 小题专讲 第2讲 统计、成对数据的统计分析和概率-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　第2讲　统计、成对数据的统计分析和概率 「考情研析」　考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、经验回归方程、独立性检验、古典概型、互斥事件、条件概率、相互独立事件、全概率公式、正态分布等内容，中低等难度．热点是样本的数字特征、相互独立事件的概率、正态分布的应用． 1.知识串联 2．结论记忆 (1)比例分配的分层随机抽样中的两个等量关系 ①＝； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层的个体数之比． (2)若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2． (3)若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M＋N)个数的平均数是. (4)频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． (5)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用经验回归直线过样本点的中心(，)． (6)均值与方差的常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 ①E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). ④D(X)＝E(X2)－(E(X))2. ⑤若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ⑥若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 考向1 按比例分配的分层随机抽样 例1　(1)某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则n＝(　　) A．18 B．21 C．24 D．27 答案　D 解析　根据比例分配的分层随机抽样原理知，＝，解得n＝27.故选D. (2)(2022·东北三省三校四模)新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产A，B，C三种不同型号的N95口罩，A，B，C三种型号的口罩产量之比为2∶m∶1.为了提高这三种口罩的质量，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本．在样本中B种口罩数量比A种口罩数量多40，比C种口罩数量多80，则n＝(　　) A．240 B．280 C．320 D．360 答案　A 解析　设样本中A，B，C三种口罩数量分别为a，b，c，则b＝a＋40＝c＋80，＝＝2，∴b＝120，a＝80，c＝40，∴n＝a＋b＋c＝240.故选A. 　比例分配的分层随机抽样的求解方法 比例分配的分层随机抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积． (2022·西安模拟)第十四届全国运动会开幕式，于2021年9月15日20点在西安奥体中心隆重开幕．本次盛会的观众席中有1800名是“西安铁一中”师生，这些师生中还有800名学生参加了文艺演出．开幕式之后，在这1800名师生中，按照“参加了演出”和“未参加演出”分层随机抽样共抽取了27名师生，参加“陕西电视台”举办的“弘扬十四运精神”座谈会，若样本按比例分配，则抽到的27名师生中“参加了演出”和“未参加演出”的人数分别是(　　) A．11，16 B．12，15 C．13，14 D．14，13 答案　B 解析　参加了演出的人数为27×＝12，“未参加演出”的人数为27×＝15，故选B. 考向2 用样本估计总体 例2　(1)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用比例分配的分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，估计该田径队运动员的平均身高是(　　) A．172.95 cm B．173.6 cm C．172.3 cm D．176 cm 答案　B 解析　由题意可得，田径队男、女队员的比例为48∶36＝4∶3，用比例分配的分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，男生占4人，女生占3人，∵抽出的男运动员平均身高为177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，∴估计该田径队运动员的平均身高是＝173.6 cm.故选B. (2)(2022·泸州模拟)空气质量指数(简称AQI)是能够对空气质量进行定量描述的数