第二编 专题四 小题专讲 第1讲 空间几何体的表面积、体积问题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　第1讲　空间几何体的表面积、体积问题 「考情研析」　空间几何体表面积、体积问题在高考题中多以选择、填空的形式出现，难度属中、低档题，主要考查空间几何体的几何量(线段长度、表面积、体积等)的计算，热点是球的切、接问题． 知识串联 考向1 空间几何体的表面积与体积 例1　(1)(2022·长沙市雅礼中学一模)已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为(　　) A．2 B．3 C． D． 答案　C 解析　设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示，则圆锥的体积V＝πr2h＝3π，即r2h＝9，S侧＝πrl＝2πr2，则l＝2r，又h＝＝r，所以r3＝9，故r＝.故选C. (2)(2022·南通模拟)如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面棱长为40 cm，下底面棱长为20 cm，侧棱长为20 cm，则该款粉碎机进物仓的体积为(　　) A．14000 cm3 B．28000 cm3 C． cm3 D． cm3 答案　D 解析　画出满足题意的正四棱台ABCD－A1B1C1D1，如图所示， 则上底面A1B1C1D1的棱长为40 cm，下底面ABCD的棱长为20 cm，侧棱DD1＝20 cm，则B1D1＝＝40 cm，BD＝＝20 cm，上底面面积为S1＝1600 cm2，下底面面积为S2＝400 cm2，过点B作BF⊥B1D1于点F，过点D作DE⊥B1D1于点E，根据正四棱台的结构特征，可得BF与DE都是该正棱台的高，且EF＝BD，B1F＝ED1＝＝10 cm，∴DE＝＝10 cm，∴正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积为V＝(S1＋＋S2)·DE＝ cm3，即该款粉碎机进物仓的体积为 cm3.故选D. 　 1．求空间几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积． 2．求空间几何体的体积的方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体． 提醒：组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 1．(多选)(2022·沈阳四模)三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为边长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则(　　) A．该玉琮的体积为18＋(cm3) B．该玉琮的体积为27－(cm3) C．该玉琮的表面积为54＋π(cm2) D．该玉琮的表面积为54＋9π(cm2) 答案　BD 解析　由题图可知，组合体的体积V＝π××4＋3×3×3－π××3＝27－(cm3)，组合体的表面积S＝3π×1＋2×＋3×3×4＋2π×＋2π×4＝54＋9π(cm2).故选BD. 2．(2022·沈阳一模)已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠A1AC＝∠A1AB＝60°，∠BAC＝90°，则四面体A1BB1C1的体积为________． 答案　 解析　如图，设A1在底面ABC上的射影为O，∵∠A1AC＝∠A1AB＝60°，∴O在∠BAC的角平分线上，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接A1E，则A1E⊥AB，在Rt△A1EA中，AA1＝2，∠A1AB＝60°，∴AE＝1，A1E＝，在Rt△AEO中，AE＝1，∠OAE＝45°，可得OE＝1，∴A1O＝＝. ∴VA1－ABC＝××1×1×＝，∵S△ABC＝S△A1B1C1，且A1到平面ABC的距离等于B到平面A1B1C1的距离，∴VA1－BB1C1＝VB－A1B1C1＝VA1－ABC＝.即四面体A1BB1C1的体积为. 3．(2022·湖北十堰高三4月调研考试)如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为________ cm3. 答案　 解析　设圆锥的底面半径为R cm，圆柱形冰块的底面半径为x cm，高为h cm.由题意可得，×(2R)2＝16，解得R＝4，h≤tan (R－