第二编 专题四 规范答题系列三 立体几何类解答题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

(2022·衡水二模) (12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝∠BPD＝60°，PB＝PD＝2. (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD； (2)若二面角P－BD－A的余弦值为，求二面角B－PA－D的正弦值． 解题思路　(1)设AC∩BD＝O，连接PO，推导出BD⊥PO，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面ABCD. (2)作OM⊥平面ABCD，以OA，OB，OM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B－PA－D的正弦值． 解　(1)证明：设AC∩BD＝O，连接PO， 在菱形ABCD中，O为BD的中点，且BD⊥AC，(1分) 因为PB＝PD，所以BD⊥PO，(2分) 又因为PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，(3分) 因为BD⊂平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD.(4分) (2)作OM⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 易知PB＝PD＝BD＝AB＝AD＝2，则OA＝OP＝，OB＝1， 因为OA⊥BD，OP⊥BD， 所以∠POA为二面角P－BD－A的平面角，所以cos ∠POA＝，(5分) 则P，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)， 所以＝(－，－1，0)，＝(－，1，0)，＝，(6分) 设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 取z1＝1，则x1＝，y1＝， 所以m＝(，，1)，(8分) 设平面PAD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则 取z1＝1，则x1＝，y2＝－，所以n＝(，－，1)，(10分) 设二面角B－PA－D的平面角为θ，则|cos θ|＝＝＝，(11分) 所以二面角B－PA－D的正弦值为sin θ＝＝.(12分) 第(1)问 由菱形的性质证明BD⊥AC，可得1分 由等腰三角形的性质证明BD⊥PO，可得1分 根据线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC，可得1分 根据面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面ABCD，可得1分 第(2)问 建立空间直角坐标系找到二面角P－BD－A的平面角，可得1分 求出关键点的坐标，得到有关向量的坐标，可得1分 求平面PAB的法向量，可得2分 求平面PAD的法向量，可得2分 利用公式求出二面角B－PA－D的余弦值，可得1分 根据同角三角函数基本关系求二面角B－PA－D的正弦值，可得1分 立体几何的解答题一般会设置两问，其中第一问常考查空间线线、线面或面面位置关系的证明，解题关键是会利用判定定理、性质定理或相关推论证明．有时也用坐标法证明．第二问常考查空间角的求解，解题方法一般有向量法和几何法．几何法的关键是找出或者作出所求的角，再在三角形中进行运算．利用向量法求解空间角要把握四点： (1)建系，需根据几何体的结构特征找出三条两两垂直的直线，一般来说，在底面中找到两条互相垂直的直线确定x，y轴的位置是关键； (2)求向量，求直线的方向向量或平面的法向量，其中法向量的求解主要利用赋值法，体现了方程思想； (3)准确转化，注意两向量的夹角与所求角之间的关系； (4)对于含动点问题，应注意利用向量共线等知识合理引入参数，求关键点、向量的坐标． (2022·深圳模拟)(12分)如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BC＝AB，E在以AB为直径的半圆上(不包括端点)，平面ABE⊥平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点． (1)求证：MN∥平面ABE； (2)当四棱锥E－ABCD的体积最大时，求二面角N－AE－B的余弦值． 解　(1)证明：取EC的中点F，连接MF，NF， ∵M，F分别为ED和EC的中点，∴MF∥CD， ∵AB∥CD，∴MF∥AB，(1分) ∵AB⊂平面ABE，MF⊄平面ABE，∴MF∥平面ABE.(2分) 同理可证NF∥平面ABE. ∵NF∩MF＝F，MF，NF⊂平面MNF， ∴平面ABE∥平面MNF，(4分) ∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面ABE.(5分) (2)当四棱锥E－ABCD的体积最大时，E是AB的中点，此时AE＝BE，(6分) 以E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设AD＝CD＝BC＝AB＝1， 则AE＝BE＝， ∴B(，0，0)，C，N，A(0，，0)，E(0，0，0)，＝(0，，0)，＝，(7分) 设平面AEN的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝2，得n＝(2，0，－7)，(9分) 易知平面ABE的法向量为m＝(0，0，1)，(10分) 设二面角N－AE－B的平面角为θ， 则|cos θ|＝＝＝.(11分)