第二编 专题三 小题专讲 第1讲 等差数列与等比数列-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　　第1讲　等差数列与等比数列 「考情研析」　1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明．　2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题． 1.知识串联 2．结论记忆 (1)等差数列的性质 设等差数列{an}(公差为d)的前n项和为Sn. ①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)； ②数列是等差数列，首项为a1，公差为d； ③Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列； ④若数列{an}共有2n项，则S偶－S奇＝nd，＝； ⑤若数列{an}共有2n－1项，则S奇－S偶＝an，＝． (2)等比数列的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，则有如下性质： ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)； ②若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列(m，n，p∈N*)； ③Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； ④若项数为2n，则＝q，若项数为2n＋1，则＝q； ⑤当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2).注意：这里连续m项的和均非零． 考向1 数列中常见关系式的应用问题 例1　(1)(2022·重庆一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an，则a2022＝(　　) A．22022－2 B．22023－2 C．22024－2 D．22021－2 答案　B 解析　当n＝1时，S1＋2＝2a1，a1＝2；当n≥2时，Sn－1＋2(n－1)＝2an－1，Sn＋2n－Sn－1－2(n－1)＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)，＝2，{an＋2}是以a1＋2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋2＝4·2n－1，an＝2n＋1－2，a2022＝22023－2.故选B. (2)(多选)(2022·保定一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1，则下面说法正确的是(　　) A．数列{an＋1－an}为等比数列 B．数列{an＋1－3an}为等差数列 C．an＝3n－1＋1 D．Sn＝＋ 答案　ABD 解析　因为an＋1＝4an－3an－1，所以an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1，又a2－a1＝1≠0，所以数列{an＋1－an}为公比为3的等比数列，故A正确；数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故B正确；由A的分析可得，an＋1－an＝3n－1，且an＋1－3an＝－1，所以an＝，故C不正确；Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝×(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋＝×＋＝＋，故D正确．故选ABD. 1．典型的递推关系式及处理方法 递推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 叠加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 叠乘法 a1＝1，＝2n an＋1＝Aan＋B (A≠0，1，B≠0) 构造法 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝ (A，B，C为常数) 取倒数法 a1＝1，an＋1＝ 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：通项an与Sn的关系中，an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，而a1应由a1＝S1求出，然后再检验a1是否满足n≥2时an的式子． 1．如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个圆环所需的最少移动次数为(　　) A．5 B．10 C．21 D．42 答案　C 解析　由递推关系式可得，a5＝2a4＋1＝4a3＋1＝4(2a2＋1)＋1＝8a2＋5＝16a1＋5＝21.故选C. 2．(2022·辽南协作体二模)若数列{an}的前n项和Sn＝，则其通项公式为________． 答案　an＝ 解析　∵数列{an}的前n项和Sn＝，∴a1＝S1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，n＝1时，不适合上式，∴an＝ 考向2 等差数列、等比数列基本量的计算 例2　(1)(2022·汕头二模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a