第二编 专题三 规范答题系列二 数列类解答题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

(2022·天津河东区一模)(12分)已知数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4成等差数列．数列{bn}的前n项和为Tn，∀n∈N*满足－＝，且b1＝1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)令cn＝求数列{cn}的前2n项和Q2n. 解题思路　(1)由等差中项和等比数列的通项公式依据题意列方程组，解方程组解得首项和公比，可得an，运用等差数列的定义与前n项和公式可得bn. (2)依据(1)求得cn，运用数列的分组转化法求和、裂项相消法求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和． 解　(1)由已知，得(1分) 即 又q>1，解得a1＝1，q＝2，故an＝2n－1.(2分) 由－＝，T1＝b1＝1， 可得是首项为1，公差为的等差数列，(3分) ＝1＋(n－1)＝，Tn＝，(4分) 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝n， 经检验n＝1时也符合上式，则bn＝n，n∈N*.(6分) (2)cn＝(7分) Q2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋(2×2＋4×23＋…＋2n×22n－1)，(8分) 设Rn＝2×2＋4×23＋6×25＋…＋2n×22n－1， 所以4Rn＝2×23＋4×25＋6×27＋…＋2n×22n＋1，两式相减得 －3Rn＝4＋2×23＋2×25＋…＋2×22n－1－2n×22n＋1＝4＋2×－2n×22n＋1 ＝－＋×22n＋2， 所以Rn＝＋×4n＋1，(10分) 所以Q2n＝＋＝－＋×4n＋1.(12分) 第(1)问 由已知条件列出方程组，可得1分 正确解方程组求出等比数列的首项和公比，求数列{an}的通项公式，可得1分 依据条件判断是等差数列，可得1分 求出进而求出Tn，可得1分 依据前n项和公式与通项公式的关系求bn，可得2分 第(2)问 依据第(1)问求得cn并恰当变形，可得1分 第(2)问 对Q2n适当变形，整理为用分组转化法求和的形式，可得1分 用错位相减法求和，可得2分 用裂项相消法求和并整理求出最后结果，可得2分 1．重视基本量法求数列的通项公式，准确掌握数列中an与Sn之间的关系，这是解决数列问题的基础． 2．数列求和问题中，要重视通过数列通项的分析(有时需要适当变形)，选择合适的求和方法． 3．数列与函数、不等式等的综合问题，要关注数列的函数特性． (2022·江苏省苏锡常镇四市二模)(12分)在①b1＋b2＝6，b3＋b4＝24；②b1＋b2＋b3＝14，b1b2b3＝64；③b＝b6，b4－b2＝12这三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝a11＝20，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且________． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求使cn取得最大值时n的值． 解　(1)由S5＝＝5a3＝20， 得a3＝4，(1分) 又因为a11＝20， 所以公差d＝＝＝2，(2分) 所以an＝a3＋(n－3)d＝4＋2(n－3)＝2n－2.(3分) 设等比数列{bn}的公比为q，则q>1. 若选①，因为b1＋b2＝6，b3＋b4＝24，所以＝q2＝4， 因为q>1，所以q＝2，(5分) 又b1＋b2＝b1(1＋q)＝3b1＝6，所以b1＝2， 所以bn＝b1qn－1＝2n.(6分) 若选②，b1b2b3＝b＝64，所以b2＝4， b1＋b2＋b3＝＋4＋4q＝14，即2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或， 因为q>1，所以q＝2，(5分) 所以bn＝b2qn－2＝2n.(6分) 若选③，由b＝b6，得b3＝＝q3， 又b4－b2＝b3＝q3＝q4－q2＝12，解得q2＝4， 因为q>1，所以q＝2，(5分) 所以bn＝b3qn－3＝qn＝2n.(6分) (2)由(1)得Sn＝＝n2－n，(8分) 所以cn＝＝，(9分) 因为cn＋1－cn＝－＝＝，(11分) 所以当n＝1或2时，cn＋1>cn；当n＝3时，cn＋1＝cn； 当n≥4时，cn＋1<cn. 所以cn取得最大值时n的值为3或4.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $