第二编 专题三 大题专讲 第2讲 数列求和及综合问题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　　　　第2讲　数列求和及综合问题 「考情研析」　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下．　2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透． 常见的求和方法 (1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定要注意公比q是否取1． (2)错位相减法：主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和． (4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并． (5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如(－1)nan的形式，通常分奇、偶，观察相邻两项是否构成新数列． 考向1 等差数列、等比数列的判定 例1　(2022·广东一模)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*). (1)求证数列{S}是等差数列，并求出Sn的表达式； (2)数列{an}中是否存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列？请说明理由． 解　(1)依题意，正项数列{an}中，a＝1， 即a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 即(Sn－Sn－1)[2Sn－(Sn－Sn－1)]＝1， 整理，得S－S＝1，又S＝a＝1， ∴数列{S}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴S＝n，∵数列{an}是正项数列，∴Sn＝. (2)数列{an}中不存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列． 理由如下： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， ∵a1＝1，即∀n∈N*，都有an＝－， ∴＝＝＋， 假设数列{an}中存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列， 则2(＋)＝＋＋＋，即＋＝＋， 两边同时平方，得k＋1＋k＋2·＝k－1＋k＋2＋2·， ∴(k＋1)k＝(k－1)(k＋2)， 整理得k2＋k＝k2＋k－2，∴0＝－2，不成立，故假设错误， ∴数列{an}中不存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列． 　等差数列、等比数列的判定方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) a＝an－1an＋1 (n≥2，an≠0) 前n项 和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1) 提醒：解答题中证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． (2022·衡阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝1＋an＋1. (1)证明：数列{Sn－1}为等比数列； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<1. 证明　(1)因为Sn＝1＋an＋1＝1＋Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝2Sn－1， 所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)，又S1－1＝a1－1＝2≠0，故数列{Sn－1}为等比数列． (2)由(1)知，数列{Sn－1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以Sn－1＝2·2n－1＝2n，即Sn＝2n＋1， 所以＝<， 故Tn<＋＋…＋＝＝1－<1，得证． 考向2 数列求和 角度1　分组转化法求和 例2　(2022·益阳模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝a＋2an－3，且an>0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}的项依次为a1，2，a2，22，23，a3，24，25，26，a4，27，28，29，210，…，规律是在ak和ak＋1中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前50项的和． 解　(1)当n>1时，由4Sn＝a＋2an－3， 得4an＝4Sn－4Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)， 整理得(an－an－1)(an＋an－1)＝2(an＋an－1)， ∵an>0， ∴an－an－1＝2， 当n＝1时，4S1＝4a1＝a＋2a1－3，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)数列{bn}中对应的项ak＋1之前总项数为2＋3＋4＋…＋(k＋1)＝， 令≤50，结合k∈N*，解得k≤8， 当k＝8时，＝44，故{bn}中的第50项在a9与a10之间． ∴数列{bn}的前50项的和为(a1＋a2＋…＋a9)＋(2＋22＋…＋241)＝＋＝242＋97. 　分组转化法求和