5 层级二 专题一 第二讲　三角恒等变换与解三角形（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

第二讲　三角恒等变换与解三角形 1．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 C　[由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β， 即：sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即：sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C．] 2．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2， 则＝(　　 ) A．－ B．－ C． D． C　[法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以或 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C． 法二　因为tan θ＝－2， 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝.故选C． 法三　因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ. 则＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝.故选C．] 3．(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　 ) A．＋表高 B．－表高 C．＋表距 D．－表距 A　[由平面相似可知，＝，＝，而DE＝FG，所以＝＝＝＝，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG， 即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故选A．] 4．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________． 解析：　设CD＝2BD＝2m>0， 则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB＝m2＋4＋2m， 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC＝4m2＋4－4m， 所以＝＝＝4－≥4－＝4－＝4－2＝(－1)2， 当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立， 所以当取最小值时，BD＝m＝－1. 答案：　－1 学生用书第14页 5.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解析：　(1)由题意得S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2， 则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝， 即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cos B＝，整理得accos B＝1，则cos B>0，又sin B＝， 则cos B＝＝，ac＝＝，则S△ABC＝acsin B＝××＝. (2)由正弦定理得：＝＝， 则＝·＝＝＝， 则＝，b＝sin B＝×＝. 6．(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解析：　(1)因为＝＝＝， 即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C＝， 而0<B<，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C>0，所以<C<π，0<B<， 而sin B＝－cos C＝sin，所以C＝＋B，即有A＝－2B． 所以＝ ＝＝ ＝＝－5≥2－5＝4－5， 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. 1．三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用二倍角公式、两角和与差的正余弦、正切公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心． 2．正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查． 考点一　三角恒等变换 1．已知α∈，2sin 2α－cos 2α＝1，则cos α的值为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． D　[由题意得4sin αcos α＋1－2cos2α＝1， 所以4sin αcos α＝2cos2α， 因为α∈(0，)，所以2sin α＝cos α， 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝，因