9 层级二 专题二 第一讲　等差数列与等比数列（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

第一讲　等差数列与等比数列 1．(2021·北京卷)已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为(　　 ) A．64 B．100 C．128 D．132 C　[由题意可得＝，则b5＝64，故b3＝＝＝128.故选C．] 2．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3，已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 D　[设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3， 依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且＝0.725， 所以＝0.725，故k3＝0.9，故选D．] 3．(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中，对任意m，n∈N*，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[因为a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， 所以{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2×2n－1＝2n. 又因为ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， 所以＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)， 所以2k＋1＝25，所以k＋1＝5，所以k＝4.] 4．(2022·北京卷)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1，2，…)．给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是________． 解析：　由题意可知，∀n∈N*，an>0， 当n＝1时，a＝9，可得a1＝3； 当n≥2时，由Sn＝可得Sn－1＝，两式作差可得an＝－， 所以＝－an，则－a2＝3，整理可得a＋3a2－9＝0， 因为a2>0，解得a2＝<3，①对； 假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a＝a1a3，即＝， 所以S＝S1S3，可得a(1＋q)2＝a(1＋q＋q2)，解得q＝0，不符合题意， 故数列{an}不是等比数列，②错； 当n≥2时，an＝－＝>0，可得an<an－1，所以数列{an}为递减数列，③对； 假设对任意的n∈N*，an≥，则S100 000≥100 000×＝1 000， 所以a100 000＝≤<，与假设矛盾，故假设不成立，④对． 答案：　①③④ 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数． 解析：　(1)证明：设数列{an}的公差为d，所以即可解得，b1＝a1＝，所以原命题得证． (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 6．(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 解析：　(1)设等比数列{an}的公比为q， 根据题意，有解得 所以an＝3n－1. (2)令bn＝log3an＝log33n－1＝n－1， 所以Sn＝＝， 根据Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，可得＋＝， 整理得m2－5m－6＝0，因为m>0，所以m＝6. 1．等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现． 2．数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下． 学生用书第21页 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 1．(2022·四川泸州三模)等差数列的前n项和为Sn，若S7－S6＝24，a3＝8，则数列的公差d＝(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[设等差数列的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋d， 由等差数列的性质可得，a7＝S7－S6＝24， 又因为a3＝8