19 层级二 专题三 专项突破(四)　立体几何中的动点、最值、范围问题（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

立体几何中的动点、最值、范围问题主要包括：空间中动点的轨迹判断，求轨迹的长度及动角的范围，判断动点、动线、动面的位置关系等．求解的一般方法是利用圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量坐标运算求轨迹的长度及范围等. (1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是(　　) A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 (2)(2022·宁波模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，P为线段C1D上的动点，则直线A1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长度为(　　 ) A． B． C． D． 解析：　(1)把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B． (2)如图，连接B1D1， 因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以B1D1∥EF， 则B1，D1，E，F四点共面． 连接A1C1，A1D，设A1C1∩B1D1＝M，A1D∩D1F＝N，连接MN， 则点Q的轨迹为线段MN， 易得A1D＝＝4， △A1ND1∽△DNF，且＝2， 所以A1N＝A1D＝. 易知A1C1＝C1D＝A1D＝4， 所以∠C1A1D＝60°，又A1M＝2， 所以在△A1MN中，由余弦定理可得MN2＝A1N2＋A1M2－2A1N·A1Mcos∠MA1N＝， 所以MN＝，即点Q的轨迹长度为. 答案：　(1)B　(2)C 在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)，若θ1＝θ2，则三棱锥P­BB1C1体积的最小值是(　　) A． B． C． D． C　[建系如图，因为正方体的棱长为3，则E，D1(0，0，3)， 设P(x，y，0)(x≥0，y≥0)，则＝，1＝(－x，－y，3)， 因为θ1＝θ2，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 所以cos θ1＝cos θ2，即＝， 代入数据，得＝， 整理得x2＋y2－8x＋12＝0，变形得：(x－4)2＋y2＝4(0≤y≤2)， 即动点P的轨迹为圆的一部分， 过点P作PF⊥BC，交BC于点F，则PF为三棱锥P­BB1C1的高，所以点P到直线AD的距离的最大值是2，则PFmin＝3－2＝1. 因为S＝·BB1·B1C1＝×3×3＝， 所以三棱锥P­BB1C1体积最小为·PF·S＝×1×＝.故选C．] 学生用书第42页 正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当·取得最小值时，点P到AD的距离为(　　 ) A． B． C． D． A　[因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体， 所以其体积为××1××＝. 设正四面体ABCD内切球的半径为r， 则4×××1×1××r＝，得r＝. 如图，取AD的中点E，则·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－. 显然，当PE的长度最小时，·取得最小值． 设正四面体内切球的球心为O，可求得OA＝OD＝. 因为球心O到点E的距离d＝＝＝， 所以球O上的点P到点E的最小距离为d－r＝－＝， 即当·取得最小值时，点P到AD的距离为.故选A．] 动点问题的解题技巧 1．应用“位置关系定理”转化． 2．建立“坐标系”计算． 3．依据“曲线定义”判定．　　 即时练1.已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则·的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． B　[根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1的中点，不妨设M与D重合，N与B1重合． 则外接球的直径长为＝2， 所以半径r＝1， 所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1， 由P在长方体表面上运动，所以||∈， 即||2∈， 所以||2－1∈，即·∈.故选B．] 即时练2.(2021·新余模拟)点P为棱长是2的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为(　　 ) A．π B．2π C．4π D