4 层级二 专题一 第一讲　三角函数的图象与性质（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

第一讲　三角函数的图象与性质 1．(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) 　 A． B． C． D． B　[如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，即OD＝OA＝OB＝2，又∠AOB＝60°，所以AB＝OA＝OB＝2，则OC＝，故CD＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B．] 2．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin B　[依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin的图象f(x)＝sin的图象．故选B．] 3．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． C　[由题意知：曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z， 解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C．] 4．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 A　[由函数的最小正周期T满足<T<π，得<<π，解得2<ω<3， 又因为函数图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－＋k，k∈Z，所以ω＝，f(x)＝sin＋2， 所以f＝sin＋2＝1.故选A．] 5．(2021·全国甲卷)已知函数f＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件>0的最小正整数x为________． 解析：　由题图可知T＝－＝，即T＝＝π，所以ω＝2， 由“五点法”可得2×＋φ＝，即φ＝－， 所以f(x)＝2cos. 因为f＝2cos＝2cos ＝1， f＝2cos ＝0， 所以由>0， 即(f(x)－1)(f(x)－0)>0，可得f(x)>1或f(x)<0，所以cos>或cos<0.当x＝1时，2x－＝2－∈，cos∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2. 答案：　2 6．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题： ①f(x)的图象关于y轴对称； ②f(x)的图象关于原点对称； ③f(x)的图象关于直线x＝对称； ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是__________． 解析：　对于命题①，f＝＋2＝，f＝－－2＝－，则f≠f， 所以函数f的图象不关于y轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数f的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f＝sin＋＝－sin x－＝－＝－f， 所以函数f的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，则f＝f，所以函数f的图象关于直线x＝对称，命题③正确； 对于命题④，当－π<x<0时，sin x<0，则f＝sin x＋<0<2，命题④错误． 答案：　②③ 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1．三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查． 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查． 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系式 1．已知角α的终边上一点的坐标为(x，1)，若cos α＝，则x的值为(　　 ) A．－3 B．3 C．－3或3 D．－或 B　[由三角函数的定义知＝， 两边平方得x2＝9，所以x＝3(x＝－3舍去)．故选B．] 学生用书第12页 2.已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin(＋α)·tan(π＋α)等于(　　 ) A．－ B． C．－ D． D　[sin(＋α)·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－， 所以sin α＝＝＝. 即sin(＋α)·tan(π＋α)＝.] 3．(2022·北京昌平高二期末)设α，β均为锐角，且tan αcos β－sin