2 攻略二　解题有道——四大数学思想（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等． 思想一　函数与方程思想 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求立体几何中面积或体积的最值及求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想转化为函数问题． 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题． 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的． 应用一　借助函数关系解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆E于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)． 解析：　(1)由题意得解得所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，将x＝ky＋1与椭圆方程＋＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0. 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－. 所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA＝×2×|y1|＋×2×|y2|＝|y1－y2| ＝＝＝ ＝(其中t＝，t≥1)． 因为当t≥1时，y＝3t＋单调递增， 所以3t＋≥4，所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)， 即四边形OCAD面积的最大值为3. 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法． 学生用书第102页 应用二　转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． 已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间[，e]上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　 ) A． B． C．(1，e－1] D．(1，＋∞) B　[令h(x)＝g(x)，得xln x＋1＝kx，即＋ln x＝k.令函数f(x)＝ln x＋，若方程xln x－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则函数f(x)＝ln x＋与y＝k在区间上有两个不相同的交点，f′(x)＝－，令－＝0可得x＝1，当x∈时，f′(x)＜0，函数是减函数；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)＝1，而f＝－1＋e，f(e)＝1＋，又－1＋e＞1＋，所以，函数的最大值为e－1.所以关于x的方程xln x－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则实数k的取值范围是.故选B．] 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝＋ln x的单调性巧妙地求出实数k的取值范围．此法也叫主元法. 　　应用三　构造函数关系解决问题 在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果． (1)若log3a＋3a－1＝log9b＋9b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 (2)已知关于x的不等式ax2e1－x－xln x－1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(－∞，0] C．(－∞，1]