第8章 微专题 离心率的范围问题(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案聚焦圆锥曲线离心率范围这一高考热点，整合椭圆、双曲线核心考点，从平面几何关系转化、题目不等信息挖掘、曲线性质应用三个维度构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导离心率不等式，形成系统解题思路。 亮点在于分层例题解析与诊断性强化训练，如按几何关系、题目信息等类型设置例题，配套5道梯度训练题，培养学生数学思维与逻辑推理能力。学生可通过例题反思与训练错题自主诊断薄弱环节，教师能依据学情精准指导，助力个性化复习提升。

微专题　离心率的范围问题 　　圆锥曲线中离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围. （1）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围为　　　　； （2）已知F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　. 听课记录 借助题目中给出的不等信息 根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解. （1）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：＋＝1（a＞b＞0），且AB，AD斜率之积的范围为（ －，－），则椭圆Ω的离心率的取值范围是（　　） A.（ ，） B.（ ，） C.（ ，） D.（ ，） （2）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A.（ 1，］ B.［，＋∞） C.［，＋∞） D.（ 1，］ 听课记录 借助圆锥曲线的性质 在求离心率的范围时常用到椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆＋＝1（a＞b＞0）中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤｜PF1｜≤a＋c等. （1）已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A.［，1） B.（ 0，］ C.［，1） D.（ 0，］ （2）已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），过点M（－b，0）的两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B.若△MAB为锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为（　　） A.（ 1，） B.（ 1，） C.（ ，＋∞） D.（ ，＋∞） 听课记录 1.（2026·广东广州开学考试）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）中，a＞3b，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A.（ 0，） B.（ ，1） C.（ 0，） D.（ ，1） 2.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　） A.（1，3] B.（1，] C.[，3] D.[3，＋∞） 3.（2026·安徽黄山质检）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线C的一条渐近线平行的直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C离心率的最大值为（　　） A. B. C.2 D. 4.已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，M是OF的中点，椭圆上有且只有右顶点（a，0）到点M的距离最近，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 5.（2026·四川绵阳模拟）加斯帕尔·蒙日是18—19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C：＋＝1（a＞），若直线l：4x－3y＋20＝0上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是　　　　. 答案 微专题　离心率的范围问题 【例1】　（1）［，1）　（2）（1，3） 解析：（1）在椭圆C1的长轴端点P'处向圆C2引两条切线P'A，P'B，若椭圆C1上存在点P，使过点P的两条切线互相垂直，则只需∠AP'B≤90°，即α＝∠AP'O≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝，得a2≤2c2，∴e2≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈［，1）. （2）在△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理＝，得｜PF1｜＝2｜PF2｜.又点P是双曲线上在第一象限内的一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得4a＋2a＞2c，即3a＞c，所以双曲线的离心率e＝＜3，又e＞1，所以1＜e＜3. 【例2】　（1）A　（2）D　解析：（1）由题意，D，B两点关于原点对称，设D（x0，y0），B（－x0，－y0），A（x，y），∴kAD·kAB＝×＝＝＝－，∴－＝－1∈（－，－），∴∈（，），∴e∈（，）.故选A. （2）∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，记｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a　①，∴2xy＝4c2－4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝2　②，由①②得又tan∠PF2F1＝≥4，即x≥4y，∴＋a≥4（－a），解得≤，∴双曲线C的离心率e＝≤，又e＞1，∴1＜e≤.故选D. 【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）设F为椭圆的左焦点，F'为椭圆的右焦点，连接AF，BF，AF'，BF'（图略），由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF'为平行四边形，又∠AFB＝120°，则∠FAF'＝60°，在△AFF'中，｜FF'｜2＝｜AF｜2＋｜AF'｜2－2｜AF｜·｜AF'｜cos∠FAF'＝（｜AF｜＋｜AF'｜）2－3｜AF｜·｜AF'｜，∴（｜AF｜＋｜AF'｜）2－｜FF'｜2＝3｜AF｜·｜AF'｜≤3（）2，可得（｜AF｜＋｜AF'｜）2≤｜FF'｜2，即a2≤4c2，则e＝≥，∴椭圆的离心率e∈［，1）.故选C. （2）如图，设过点M（－b，0）的直线l1：y＝k（x＋b）（k＞0），联立消y整理得（b2k2－a2）x2＋2b3k2x＋b2（b2k2－a2）＝0，依题意得Δ＝4b6k4－4b2（b2k2－a2）2＝0，所以k2＝.由双曲线的对称性，得0＜k2＝＜1，所以a2＜2（c2－a2），整理得双曲线E的离心率e＝＞.故选D. 强化训练 1.B　2.A　 3.D　如图所示，不妨取渐近线方程为y＝x，又易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝（x＋c），联立直线l与双曲线方程可得M（－，），所以｜F1M｜＝＝＝＝＝，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝＝＝∈[1，3]，所以e2－1∈［，4］，解得≤e≤.因此双曲线C离心率的最大值为.故选D. 4.（0，］　解析：由题知点M（，0）.设Q（x，y）是椭圆上的点，x∈[－a，a]，则｜MQ｜＝＝，函数y＝x2－cx＋＋b2的对称轴是直线x＝，定义域是x∈[－a，a]，∴a≤，解得椭圆的离心率e∈（0，］. 5.［，1）　解析：由题可知，点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在直线上，所以问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程＋＝1可知：b＝，如图， 当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2a和2，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋7，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即≤，所以a2≥9，所以e2＝1－≥，所以≤e＜1. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $