7 层级二 专题一 专项突破(一)　平面向量与解三角形（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

一、“奔驰定理”与三角形“四心” 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决与三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. (1)已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　 ) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 (3)过△ABC的重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，＝，＝n，则n的值为________． 解析：　(1)由奔驰定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. 所以＝＝⇒m＝4. (2)由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋， 由＝，得＝(－)，整理得＝－， 所以－＝＋，整理得4＋6＋9＝0， 所以S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. (3)如图，因为O是重心，所以＋＋＝0，即＝－－， 因为＝，所以－＝(－)，所以＝＋＝－－， 又＝n，则－＝n(－)，所以＝n＋(1－n)， 因为P，O，Q三点共线，所以∥，所以－(1－n)＝－n，解得n＝. 答案：　(1)C　(2)B　(3) “奔驰定理”与三角形“四心” 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： (1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0. 学生用书第18页 (2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0. (3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0. 备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对． (4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 即时练1.点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　 ) A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3 C　[根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC＝(1＋2＋3)∶2＝3∶1.] 即时练2.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　 ) A．， B．， C．， D．， A　[根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋，故选A．] 即时练3.若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.则△ABC的面积为________． 解析：　因为3＋4＝－5，且||＝||＝||＝1， 所以9||2＋16||2＋24·＝25||2，所以·＝0，所以OA⊥OB， 所以S△AOB＝×1×1＝， 由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5， 所以S△AOB＝·S△ABC，所以S△ABC＝S△AOB＝. 答案：　 二、向量极化恒等式 极化恒等式：a·b＝－. 变式：a·b＝－，a·b＝－. 如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝ 2－2. (1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________． 解析：　(1)如图所示，由极化恒等式，易得·＝ 2－2＝32－52＝－16. (2)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式， 得·＝2－2＝9n2－m2＝4，① ·＝2－2＝n2－m2＝－1.② 联立①②，解得n2＝，m2＝. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝. 即·＝. 答案：　(1)－16　(2) 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)． 即时练4.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是(　　 ) A． B．2 C． D． B　[如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝2－2＝2－， 所以当P与A(B)重合时，|PE|max＝，从而(·)max＝2.故选