1 开篇　巧解客观题的五种技法（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有巧取特例、数形结合、构造法、巧用“端点效应”、妙用二级结论等. 技法一　巧取特例　实现秒杀 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． (2022·山东济南2月联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}为递增数列”是“{Sn}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　一方面，若{an}为递增数列，则an＋1>an对任意的n∈N*都成立，但an＋1的符号不能确定， 又Sn＋1－Sn＝an＋1， 所以Sn＋1－Sn>0，Sn＋1－Sn＝0，Sn＋1－Sn<0均有可能， 所以不能确定{Sn}为递增数列，所以“{an}为递增数列”不是“{Sn}为递增数列”的充分条件． 另一方面，若{Sn}为递增数列，则Sn＋1>Sn>Sn－1对任意的n∈N*，n>1都成立，但Sn＋1＋Sn－1－2Sn的符号不确定，又an＋1－an＝Sn＋1－Sn－Sn＋Sn－1＝Sn＋1＋Sn－1－2Sn，所以an＋1－an的符号也不确定， 所以“{an}为递增数列”不是“{Sn}为递增数列”的必要条件．故选D． 　利用特例：对于递增数列{an}，如－1，0，1，2，…，显然S1＝S2＝－1，即{Sn}不为递增数列；对于通项公式为Sn＝n的递增数列{Sn}，其对应的{an}为常数列1，1，1，1，…，显然{an}不是递增数列．从而选D． 答案：　D (2022·湖北武汉2月调研)已知双曲线C1：－＝1(a1>0，b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率e1为2，则C2的离心率e2为________． 　C1的渐近线方程为y＝±x，C2的渐近线方程为y＝±x， 由已知得＝，从而a1a2＝b1b2，所以aa＝(c－a)(c－a)， 所以(e－1)(e－1)＝1，从而e2＝. 　C1的离心率e1为2，不妨设双曲线C1：x2－＝1，则其渐近线方程为x2－＝0，同时它也是C2的渐近线方程，因而可设C2：－x2＝1，那么e2＝＝. 答案：　 技法二　数形结合　天堑变通途 数形结合包括两方面，一是“以形助数”，根据函数图象挖掘其几何意义，利用图象的直观性求解与数有关的问题(如函数的零点问题，求取值范围问题等)；二是“以数辅形”，对平面向量、解析几何、立体几何等问题，用建系法、向量法等辅以计算，从而求解问题． (2022·陕西西安附属中学模拟)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M引两条切线，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－1，则|TM|的取值范围为________. 学生用书第2页 　由已知得M(x0，y0)，因为原点O在圆M外，所以x＋y>8. 由题意知，过原点O的圆的切线的斜率存在，设其方程为y＝kx，则＝2，即(x－8)k2－2x0y0k＋y－8＝0，则k1k2＝＝－1，所以x＋y＝16. 所以点M在以原点为圆心、4为半径的圆上，易知T到原点O的距离为5，因而由数形结合知，|TM|∈[1，9]． 　由题知切线OP，OQ互相垂直，连接MQ，MP，则四边形OPMQ为正方形，如图所示． 连接MO，由于圆M的半径|PO|＝|QO|＝2，所以|MO|＝4，所以点M在以原点为圆心、4为半径的圆上，易知T到原点O的距离为5，因而由数形结合知|TM|∈[1，9]． 答案：　[1，9] 技法三　 构造法　蹊径可现 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． (2022·陕西咸阳2月模拟)设实数a＝，b＝ln ，c＝，那么a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 　a＝ln e，b＝ln 2，c＝ln 3， 由函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，将原问题转化为比较e，2，3的大小． 因为e>e>2，所以a>b. 因为2>21.6＝256>243＝3，所以2>