34 层级二 专题五 专项突破(八)　圆锥曲线中二级结论的应用（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但做到迅速、准确地解题，还要掌握一些方法与技巧，圆锥曲线中的一些二级结论为我们提供了方法与技巧，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. (1)A，B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． (2)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　 ) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：　(1)椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，所以－＝－， 所以＝，所以b2＝a2，所以c2＝a2， 所以＝，所以e2＝，所以e＝. (2)如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈(0，)， 则直线l2的倾斜角为＋θ， 由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB|＝＝，　|DE|＝＝， 所以|AB|＋|DE|＝＋＝≥＝16， 当且仅当sin2θ＝cos2θ，即sin θ＝cos θ，即θ＝时取“＝”． 答案：　(1)D　(2)A 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，椭圆C的离心率为e＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，当R为何值时，线段AB的长度最大？并求出最大值． 解析：　(1)由题意知，b＝1，＝，故＝，解得a2＝4. 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)方法一：连接OA，OB，如图所示． 设直线l的方程为y＝kx＋m， 因为直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A， 所以R＝，即m2＝R2(1＋k2)，① 因为l与椭圆C：＋y2＝1相切于点B， 由得x2＋4(kx＋m)2＝4， 即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0有两个相等的实数解， 则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＝0， 即4k2－m2＋1＝0，② 由①②可得 设B(x1，y1)，由求根公式得x1＝－＝－＝－， 所以y1＝kx1＋m＝k(－)＋m＝＝， 所以|OB|2＝x＋y＝＝5－， 所以在Rt△OAB中， |AB|2＝|OB|2－|OA|2＝5－－R2＝5－(＋R2)， 因为＋R2≥4，当且仅当R＝∈(1，2)时取等号， 所以|AB|2≤5－4＝1， 即当R＝∈(1，2)时，|AB|取得最大值，最大值为1. 方法二：设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝1，即x0x＋4y0y－4＝0， 又R2＝|OA|2＝， R为圆半径，R∈(1，2)， |AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－， 又＋y＝1，所以x＝4－4y， 所以|AB|2＝4－3y－＝5－(3y＋1)－≤5－2＝1， 当且仅当3y＋1＝，即y＝，x＝时，等号成立， 所以|AB|max＝1，此时R2＝＝2，即R＝∈(1，2)， 故当R＝时，|AB|max＝1. 1．椭圆、双曲线中的常用二级结论 椭圆：＋＝1(a>b>0)，双曲线：－＝1(a>0，b>0)． (1)焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝， 同理，双曲线中，＋＝. 学生用书第76页 (2)焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中S△PF1F2＝b2·tan ，双曲线中S△PF1F2＝. (3)周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于左、右顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点， 则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. (4)垂径定理：已知直线l(不平行于对称轴且不过原点)与椭圆＋＝1相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOM·kAB＝－. 同样地，双曲线－＝1(a>0，b>0)中有kOM·kAB＝. (5)已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1. 2．与抛物线的焦点弦有关的二级结论：设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)＋＝. (3)|AB|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)． (4)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 3．抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过(2p，0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也成立． 即时练1.