10 层级二 专题二 第二讲　数列求和与综合应用（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

第二讲　数列求和与综合应用 1．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 D　[由题意，αk∈N*，不妨取αk＝1，k∈N*，所以α1＝α2＝α3＝…＝1，所以b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝，b6＝，b7＝，b8＝，因为b1＝2>＝b5，所以A错误；因为b3－b8＝－＝>0，所以b3>b8，故B错误；因为b6－b2＝－＝>0，所以b6>b2，故C错误；因为b4－b7＝－＝－<0，所以b4<b7，故D正确．故选D．] 2．(2022·浙江卷) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－a(n∈N*)，则(　　 ) A．2<100a100< B．<100a100<3 C．3<100a100< D．<100a100<4 B　[因为a1＝1，易得a2＝∈(0，1)，依次类推，可得an∈(0，1)， 由题意可得，an＋1＝an，即＝＝＋， 所以－＝>， 即－>，－>，－>，…，－>(n≥2)， 累加可得－1>(n－1)，即>(n＋2)(n≥2)， 所以an<(n≥2)，即a100<，100a100<<3， 又－＝<＝(n≥2)， 所以－＝，－<，－<，…， －<(n≥3)， 累加可得－1<(n－1)＋(n≥3)， 所以－1<33＋<33＋<39， 即<40，所以a100>，即100a100>； 综上：<100a100<3.故选B．] 3．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝ ______________． 解析：　an＋2＋(－1)nan＝3n－1， 当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1. 设数列的前n项和为Sn， S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16 ＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16) ＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41) ＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，所以a1＝7. 答案：　7 4．(2021·全国乙卷)设是首项为1的等比数列，数列满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为和的前n项和．证明：Tn<. 解析：　(1)因为是首项为1的等比数列，且a1，3a2，9a3成等差数列， 所以6a2＝a1＋9a3，所以6a1q＝a1＋9a1q2， 即9q2－6q＋1＝0，解得q＝，所以an＝()n－1， 所以bn＝＝. (2)证明：由(1)可得Sn＝＝(1－)， Tn＝＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝(1－)－， 所以Tn＝(1－)－， 所以Tn－＝(1－)－－(1－)＝－<0， 所以Tn<. 5．(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 解析：　(1)因为a1＝1，所以S1＝a1＝1，所以＝1， 又因为是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)＝，所以Sn＝， 所以当n≥2时，Sn－1＝， 所以an＝Sn－Sn－1＝－， 整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1， 即＝， 所以an＝a1×××…×× ＝1×××…××＝， 显然对于n＝1也成立， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)证明：＝＝2， 所以＋＋…＋＝2＝2<2. 1．数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法． 2．数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等． 3．主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等. 考点一　数列求和 【考向1】　分组转化法求和 (2022·烟台一模)已知数列满足a1＝4，an＋1＝(k∈N*)． (1)记bn＝a2n－2，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； 学生用书第24页 (2)求数列的前2n项和S2n. 解析：　(1)证明：依题意，bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋－2 ＝＋－2＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn， 又b1＝a2－2＝a1＋1－2＝1>0， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，bn＝()n－1，n∈N*. (2)由(1)知，a2n＝bn＋2＝()n－1＋