30 层级二 专题五 第四讲　定点、定值问题（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

第四讲　定点、定值问题 1．(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 解析：　(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1， 过A(0，－2)，B， 则解得m＝，n＝， 所以椭圆E的方程为：＋＝1. (2)证明：A(0，－2)，B， 所以AB：y＋2＝x， ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，直线x＝1. 代入＋＝1，可得M，N，代入AB方程y＝x－2，可得T， 由＝得到H. 求得HN方程：y＝x－2，过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在， 设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0， 可得 且x1y2＋x2y1＝，(*) 联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)． 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0， 显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． 2．(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 解析：　(1)由题意得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m， 代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN知·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0. 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1(A(2，1)不在直线MN上)． 于是MN的方程为y＝k－(k≠1)． 所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)． 由·＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0. 又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0. 解得x1＝2(舍去)，x1＝. 此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 故|DQ|＝|AP|＝. 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|. 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值． 学生用书第69页 以解答题的形式考查定点、定值问题，多以压轴题出现，难度较大． 考点一　定点、定线问题 【考向1】　定点问题 (2022·山西二模)已知双曲线C：－＝1经过点A1，A2，A3，A4，A5中的3个点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线l1，l2都经过双曲线C的右顶点，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝1，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由． 解析：　(1)由于A3，A4关于x轴对称，所以A3，A4要么都在双曲线C上，要么都不在双曲线C上． 点A1，A2不可能都在双曲线C上，因为双曲线C经过3个点，所以A3，A4都在双曲线C上． 将A3，A4的坐标代入－＝1得－＝1， 由A3，A4都在双曲线C上可知A2、A5(，)都不在双曲线C上， 所以点A1在双曲线C上，故a＝2， 结合－＝1可得b＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)设M，N，其中y1≠y2，故可设直线MN的方程为x＝my＋n， 由消去x并化简得y2＋6mny＋3n2－12＝0， 3m2－4≠0，y1＋y2＝－，y1·y2＝. 因为双曲线C的右顶点为A1，且k1＋k2＝1， 所以＋＝＋ ＝ ＝＝＝1， 所以n＝－3m＋2，代入x＝my＋n 得x＝m＋2， 当y＝3时，x＝2，所以直线MN过定点. 【考向2】　定直线问题 (2022·江西赣州二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右顶点分别为A1，A2，以线段A1A2为边的一个正三角形与椭圆C的一个公共点为P(，)． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，