31 层级二 专题五 第五讲　证明与探究性问题（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

第五讲　证明与探究性问题 考点一　证明问题 (2022·泰安模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝. (1)求E的方程； (2)过F的直线l′交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB． 解析：　(1)由得yQ＝，又e＝2，所以yQ＝， 而|PF|＝c－＝＝b， 所以|FQ|＝＝b＝，所以a＝1，c＝2， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1； (2)证明：因为F(2，0)，P，易得直线l′的斜率不为0， 所以设直线l′的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 由y1y2＝<0得－<m<， 所以kPA＋kPB＝＋ ＝ ＝＝＝0， 所以kPA＝－kPB，所以∠APF＝∠BPF，即PF平分∠APB． 圆锥曲线中证明问题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决． 即时练1.(2022·贵州贵阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，|F1F2|＝2，|AB|＝4. (1)求椭圆C的方程； (2)过F2的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线MB与直线x＝4交于G点，证明：A，N，G三点共线． 解析：　(1)由|F1F2|＝2c＝2，即c＝1，又|AB|＝2a＝4，即a＝2， 所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：可设直线MN的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0且Δ＝144(m2＋1)>0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，而直线MB的方程为y＝(x－2)， 所以令x＝4，得G，则有＝(x2＋2，y2)，＝. 又因为6y2－(x2＋2)× ＝＝ ＝＝0， 所以∥，而AN∩AG＝A， 所以A，N，G三点共线． 考点二　探究性问题 (2022·河南洛阳模拟)已知椭圆C：＋＝1的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由． 解析：　(1)由题可知，解得， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设满足条件的直线l存在，由E，F， 所以kEF＝. 因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，所以kAB＝－. 设直线l的方程为y＝－x＋t，代入＋＝1， 得7x2－6tx＋6＝0，(*)， Δ＝－4×7×6＝－96t2＋672>0，即－<t<. 记A，B， 则. 由AF⊥BE，得·＝－1， 所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0. 将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t代入上式， 得3x1x2－＋＝0， 所以3×－·＋＝0， 所以5t2＋t－18＝0， 解得t＝(t＝－2舍去)，代入(*)满足Δ>0， 所以直线l的方程为y＝－x＋. 学生用书第72页 有关存在性问题的求解策略 1．存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法． 3．解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明(理由)． [提醒]　当条件和结论不唯一时要分类讨论. 即时练2.(2022·江西上饶模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个顶点在直线x＋y＝1上，直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，点P(P不在直线l上)． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线l与x＝2交于点M，设PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.试问：是否存在常数λ使得k1＋k2＝λk3？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解析：　(1)直线x＋y＝1与坐标轴的交点为(，0)，(0，1)， 所以a＝，b＝1， 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝k(x－1)，则M(2，k)． 由⇒x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以k1＋k2＝＋＝＋ ＝2k－＝2k－· ＝2k－·＝2k－×＝2k－. 又因为k3＝＝k－， 所以k1＋k2＝2＝2k3. 故存在常数λ