33 层级二 专题五 专项突破(七)　隐圆问题（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. (1)已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为(　　 ) A．16 B．14 C．12 D．10 (2)在平面直角坐标系xOy中，点A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是(　　 ) A．[0，] B．[－5，1] C．[－，] D．[－2，0] 解析：　(1)动直线方程化为m(x－1)＋n(y－3)＝0，知恒过定点Q(1，3)． 又因为点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B， 所以∠ABQ＝90°，则点B的轨迹是以AQ为直径的圆， 所以圆心为AQ的中点M(－2，－1)， 圆的半径r＝|AQ|＝5. 又|MC|＝＝7>r＝5， 所以点C(5，－1)在圆M外， 故|BC|的最大值为r＋|MC|＝7＋5＝12. (2)设点P(x，y)，且·≤20. 所以(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65， 则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点， 联立 得或 结合图形(图略)可知－5≤x≤1. 答案：　(1)C　(2)B 学生用书第74页 发现确定隐圆的主要方法 1．利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆． 2．在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆． 3．两定点A，B，动点P满足·＝λ，确定隐圆． [提醒]　本例题目条件隐含“圆M”及“圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65”，从而借助几何直观求解最值与范围． 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； (2)在直线OA上(O为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，使对于圆C上任一点P，都有为一常数？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：　(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，因为直线与圆相切， 所以＝3，得b＝±3. 所以所求直线方程为y＝－2x＋3或y＝－2x－3. (2)设P(x0，y0)，则y＝9－x. 假设存在这样的点B(t，0)(t≠－5)，使得为常数λ(λ≠1)， 则|PB|2＝λ2|PA|2， 所以(x0－t)2＋y＝λ2[(x0＋5)2＋y]， 将y＝9－x，代入上式消去y，得 (10λ2＋2t)x0＋34λ2－t2－9＝0对x0∈[－3，3]恒成立， 所以解得或(舍去)． 所以存在定点B(－，0)，使得对于圆C上任一点P，都有为常数. 第(2)问其设置原型即来源于“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C(a，0)为圆心，为半径的圆(阿波罗尼斯圆)．借助定义，可将方程化简，准确进行答案的取舍(舍去λ＝1)．　　 (1)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则(|PA|2＋|PB|2)的最大值为(　　 ) A．3＋ B．7＋4 C．8＋4　 D．16＋8 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________． 解析：　(1)以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 则A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)． 因为＝，则＝. 化简得(x－2)2＋y2＝3为动点P满足的轨迹方程． 易知＝＝x2＋y2＋1， 其中x2＋y2可以看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到点(0，0)的距离的平方， 所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4， 所以x2＋y2＋1的最大值为8＋4， 即的最大值为8＋4. (2)设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10， 可得x2＋(y－1)2＝4， 所以M点在圆x2＋(y－1)2＝4上， 故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切， 所以1≤ ≤3，所以0≤a≤3. 答案：　(1)C　(2)[0，3] 1．两题均是利用直接法求动点的轨迹方程，求解轨迹，关键在于找准题目中凸显的或隐含的等量关系，并把这种关系“翻译”成与动点坐标(x，y)有关的等式，即可得到所求的轨迹方程． 2．重视数形结合与转化