6 层级二 专题一 答题模板　解三角形（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试（新教材 老高考）

答题模板 解三角形 　　解三角形是高考解答题中的中低档题目，本题考查正弦定理、余弦定理的应用，以及数学运算、逻辑推理的核心素养. (12分)(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C． (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC． [步骤要点]　(1)灵活选择：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)找关系：利用∠BED与∠ABC互补；cos∠BED与cos∠ABC相反，找a，b，c之间的关系． (3)计算：将找到的a，b，c之间的关系代入余弦定理即可． [阅卷细则]　(1)写出正弦定理即得2分； (2)没写正弦定理，直接把sin C，sin∠ABC化成边也得2分； (3)利用了互补角的余弦值相反即可得3分； (4)未舍掉一种情况的扣1分． [规范解答]　(1)证明：　由题意知，BD＝， 由正弦定理得，＝，即＝，…………2分 所以BD＝，又b2＝ac，…………3分 所以BD＝b，得证．…………4分 (2)如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E， 因为AD＝2DC，所以＝＝2，＝， 所以BE＝，DE＝a.…………6分 在△BED中，cos∠BED＝ ＝＝＝，…………7分 学生用书第17页 在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.…………8分 因为∠BED＝π－∠ABC，所以cos∠BED＝－cos∠ABC， 所以＝－，化简得3c2＋6a2－11ac＝0， 方程两边同时除以a2，得3－11·＋6＝0， 解得＝或＝3，…………10分 当＝时，cos∠ABC＝＝＝； 当＝3，即c＝3a时，cos∠ABC＝＝＝>1(舍)． 综上，cos∠ABC＝.…………12分 学科网（北京）股份有限公司 $