第五章计数原理 章末复习课 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章 章末复习课 南阳市五中 一、两个计数原理的综合应用 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排列、组合等问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属中档题． 2．应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏． 例1　(1)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．14 B．16 C．20 D．48 解析：分两类，第1类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12； 第2类：3人全来自其余4家企业，有N2＝4种情况． 综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(种)情况. 答案：B　 (2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给区域着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答) 答案：72 解析：涂①有4种方法；涂②有3种方法；涂③有2种方法；涂④时分两类：当④与②同色时，④有1种方法，⑤有2种方法；当④与②不同色时，④有1种方法，⑤有1种方法．∴共有4×3×2×(1＋2)＝72种涂法． 训练1　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，}C＝{8，9}，现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可组成集合的个数为(　　) A．24 B．36 C．26 D．27 解析：分三类情况：从集合A、B中各选一个元素组成的集合有4×3个，从A、C中选一个元素组成的集合有4×2个，从B、C中各选一个元素组成的集合有3×2个，所以共有4×3＋4×2＋3×2＝26(个). 答案：C 二、排列组合的应用 1．排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，灵活利用排列组合的相关公式与方法解题． 2．排列组合问题的解决方法主要有： (1)直接法(元素、位置优先考虑法)： ①特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． ②特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置． (2)插空法：不相邻问题常用插空法：我们可以根据题目的具体特点．先排某些元素，再将余下的元素进行插空．这样处理有关的排列组合问题，往往能收到良好的解题效果． (3)捆绑法：对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再考虑它们“内部”的排列，这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”． (4)间接法：间接法是求解排列组合问题的常用方法．带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法(排除法)，即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数． 例2　50件产品中有3件是次品，从中任意取4件. (1)至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)至多有两件次品的抽法有多少种？ 解析：抽取的4件产品中至少有1件次品分为有1件次品、2件次品、3件次品3种情况：有1件次品的抽法有种；有2件次品的抽法有种；有3件次品的抽法有 种．根据分类加法计数原理，至少有1件次品的抽法共有＋＋＝51 935种． (2)抽取的4件产品中至多有2件次品的抽法分没有次品、有1件次品、有2件次品3种情况，根据分类加法计数原理，共有＋＋＝230 253种抽法． 例3　马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏路灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有多少种？ 解析：本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空当里.6盏亮着的灯排在一起，中间有5个空当，从5个空当中选出某3个，插进去三盏关掉的路灯，因此，不同的关灯方案共有＝10种． 例4　用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个？ 解析：第一步：先将两个偶数排好，有种不同的排法； 第二步：两个偶数之间的奇数，可以有种选择； 第三步：将两个偶数和它们中间的奇数捆在一起，与另外两个奇数排列，有种不同的排法． 由分步乘法计数原理，适合题意的五位数共有··＝36个． 例5　从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少