6.1.3全概率公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3　全概率公式 南阳市五中 要点　全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2， …，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝______________，称上式为全概率公式． (1)公式的直观作用： 由于公式包含了乘法公式P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)即先有Bi后有A，Bi对A的发生均有一定作用，只有Bi发生了，才有A发生的可能性，Bi是A发生的全部“原因”因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”． (2)运用公式的关键： 运用公式的关键是寻找其中的完备事件组B1，B2，…，Bn，该完备事件组是为了计算P(A)而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)全概率公式中样本空间Ω中的事件B i需满足的条件是＝Ω.(　　) (2)每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个．(　　) (3)每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生．(　　) (4)全概率公式解决由果索因问题．(　　) √ √ √ × 2．市场上供应的灯泡中，甲厂灯泡占70%，乙厂灯泡占30%，甲厂灯泡的合格率是95%，乙厂灯泡的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 解析：记事件A为“买到一个甲厂灯泡”，事件B为“买到一个合格灯泡”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 答案：A 3．已知A，B为样本空间Ω中的事件，BA与B是互斥的，B＝BA＋B，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(B)＝(　　) A． B． C． D． 解析：由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(AB)＋P(B)＝＝. 答案：D 4．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件．则第一次和第二次都抽到次品的概率是________．   解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B. P(AB)＝＝＝. 答案： 题型一　全概率公式在简单事件中的应用 例1　某学校有A，B两家餐厅，王飞第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王飞第2天去A餐厅用餐的概率． 解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1且A1与B1互斥．根据题意得：P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8. 由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1) ＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7 所以王飞第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai； (2)命名目标的概率事件为事件B； (3)代入全概率公式求解． 训练1　设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内装30件，其中18件优质品．现在随意地打开一箱，然后从中随意取出一件，求取到是优质品的概率． 解析：设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)， P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝＝， P(A|B2)＝＝，由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝. 题型二　全概率公式在复杂事件中的应用 例2　有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率． 解析：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1且A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. (1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0 525. (2)“如果取到的零件是次品，计算它