5.4.2二项式系数的性质 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.2　二项式系数的性质 南阳市五中 要点一　杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的________，即＝________ 要点二　二项式系数的和 ＝________． ＋…＝________． 相等 和 ＋ 2n 2n－1 对于2n＝，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有 ＝2n. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为.(　　) (3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (4)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) √ × × × 2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 解析：令x＝1得各项系数和为－1. 答案：B 3．若(1＋3x)n的展开式中，第3项的二项式系数为6，则第4项的系数为(　　) A．4 B．27 C．36 D．108 解析：Tk＋1＝ (3x)k， 由＝6，得n＝4. ∴T4＝ (3x)3，故第4项的系数为×33＝108，故选D. 答案：D 4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 题型一　杨辉三角 例1　如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第二个数是多少？ 解析：设第n行第2个数为an(n≥2)， 则　∴an＋1－an＝n. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2 ＝2＋2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝1＋ ＝. 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析，实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同)． 训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3. 解析：∵＝，即＝，∴n＝34. 答案：34 题型二　二项式系数和与各项的系数和的基本问题 例2　(1)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　) A．－32　　　　B．0　　　　C．32　　　　D．1 解析：由题意知2n＝32，得n＝5.令x＝1，可得展开式中各项系数的和为(3×12－1)5＝32.故选C. 答案：C (2)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为32，则x2的系数为(　　) A．50 B．70 C．90 D．120 答案：C　 解析：令x＝1，得各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以由题意知2n＝32，得n＝5，二项展开式的通项为Tk＋1＝ x5－k＝3k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为32＝90，故选C. (1)对于(a＋b)n展开式中，二项式系数的和是＝2n. (2)对于(ax＋b)n的式子，求其展开式中的各项系数之和常用赋值法． 训练2　(1)设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3项的系数为(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 解析：N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2 ∴(2n)2－2n＝240 ∴2n＝16，∴n＝4. ∴Tk＋1＝·(5x)4－k·(－)k＝(－1)k··54－k· 令4－＝3，即k＝2 此时·52·(－1)2＝150. 答案：C　 (2)如果的展开式中各项系数之和为128，则n的值为________，展开式中的系数为________． 答案：7　21 解析：令x＝1，得展开式的各项系数之和为2n， 所以2n＝128，解得n＝7，所以展开式的通项为(－1)k·37－k ， 令7－k＝－3，解得k＝6. 所以展开式中的系数是3＝21. 题型三　二项展开式中系数和问题 例3　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. (1)求a1＋a2＋…＋a7； (2)求a1＋a3＋a5＋a7； (3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解析：(1)当x＝1时，等号左边为(1－2)7＝－1，等号右边