5.3.2组合数的应用 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第2课时　组合的应用 南阳市五中 题型一　无限制条件的组合问题 例1　现有10名学生，男生6人，女生4人． (1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？ (2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？ (3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？ 解析：(1)从6名男生中选2人的组合数是＝15种． (2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合＝90种． (3)从10名学生中选2名的组合数＝45种． 方法归纳 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏． 跟踪训练1　(1)有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　) A．70个　　　B．80个　　　C．82个　　　D．84个 解析：分两类分别求即可，共有＝30＋40＝70. 答案：A　 (2)若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答) 答案：140 解析：第一步，安排周六有 ＝140种． 题型二　有限制条件的组合问题 角度1　“至多”与“至少”问题 例2　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 答案：C　 解析：(1)方法一　本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有 ×4＝472种．故选C. (2)现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有________种． 答案：64 解析：方法一　(直接法)分两类： 第1类，抽出1件次品，抽法种数为 ＝56＋8＝64. 方法二　(间接法)从10件产品中任取3件的抽法有＝64. 方法归纳 “至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 跟踪训练2　从六位同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为(　　) A．9 B．14 C．12 D．15 解析：方法一　(直接法)分两类： 第1类，小张、小王两名同学都不参加，有 ＝9. 方法二　(间接法)不同的选法种数为＝9. 答案：A 角度2　“含”与“不含”问题 例3　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为＝792. (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为＝36. (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为＝126. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步： 第1步，从甲、乙、丙中选1人，有 ＝378. 方法归纳 “含……”或“不含……”是组合应用的常见题型．其解法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步计数． 必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键． 当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略． 跟踪训练3　从6个人中选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排方法． 解析：从6个人中选取1个人安排在第一天有＝6(种)方法，然后从余下的5个人中选取1个人安排在第二天有＝5(种)方法，再从剩余的4个人中选取2个人安排在第三天有＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知不同的安排方法有6×5×6＝180(种)． 答案：180 题型三　分配问题 例4　把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法． (1)甲2本、乙2本、丙2本； (2)甲1本、乙2本、丙3本； (3)甲4本、乙1本、丙1本． 解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书