3.4.3.3空间中的距离问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第3课时　空间中的距离问题 南阳市五中 [教材要点] 要点一　点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝________． 要点二　点到直线的距离 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上的任意一点，则点P到直线l的距离为：d＝______________． |·n0| [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(　　) (2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(　　) (3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(　　) (4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(　　) √ √ × √ 2．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：∵n＝(1，0，－1)与直线l垂直， ∴n的单位向量n0＝. 又∵l经过点A(2，3，1)，∴＝(2，0，1)， ∴在n上的投影·n0＝(2，0，1)·＝. ∴点P到l的距离为.故选B. 答案：B 3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)， ∴n0＝. 又点A(－1，3，0)在α内，∴＝(－1，－2，4)， ∴点P到平面α的距离为|·n0|＝＝.故选D. 答案：D 4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)． ∴＝＝(－a，0，a)． ∴||＝|＝a. ∴点A1到BC1的距离 d＝＝＝a. 答案：a 题型一　点到直线的距离 例1　在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．   解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)．所以直线EF的方向向量＝(1，－2，1)；取直线EF上一点F(1，0，2)，则点A(2，0，0)到直线EF上一点F(1，0，2)的向量＝(－1，0，2)． 因为在上的投影为·＝， 所以点A到直线EF的距离d＝＝. 方法归纳 利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式． 跟踪训练1　四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离． 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． ∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，＝(0，－4，4)． ＝(－2，0，4)，＝(0，－4，4)， ∴·＝16， ∴在上的投影的长度为＝＝2. 所以点B到直线PD的距离为 d＝＝＝2. 题型二　点到平面的距离 例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．   解析：以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)， ∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0)． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)． 由得 ∴ 令y＝1，则n＝(－1，1，－3)， 故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝. 方法归纳 利用向量求点到平面的距离的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 跟踪训练2　已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面