1.1.2直线的倾斜角、斜率及其关系第二课时课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

直线的倾斜角、斜率及其关系(第二课时) 1 复习回顾 2 探究新知 3 探究新知 4 探究新知 5 探究新知 6 探究新知 7 探究新知 8 探究新知 9 探究新知 10 探究新知 11 探究新知 12 探究新知 13 探究新知 14 例题讲解 15 例题讲解 16 例题讲解 17 例题讲解 18 例题讲解 19 例题讲解 20 例题讲解 21 例题讲解 22 课堂小结 23 课后练习 24 倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,把轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角,称为直线的倾斜角.通常倾斜角用表示. 特殊情况:当直线和轴平行或者重合时,规定它的倾斜角为0. 倾斜角的取值范围:. 斜率:在直线上任取两个不同的点,则称(其中)为经过这两点的直线的斜率. 特殊情况:当时即直线垂直于轴时,则它的斜率不存在. 问题1 直线的斜率与倾斜角有什么关系呢? 当向量的方向向上,则.点坐标为, 直线的倾斜角.由正切函数的定义,有. 又知直线的斜率为, 所以有(其中). 问题1 直线的斜率与倾斜角有什么关系呢? 当向量的方向向上时, 同理可得. 问题1 直线的斜率与倾斜角有什么关系呢? 当时即直线垂直于轴时, 倾斜角,即斜率不存在. 结论:直线的倾斜角不是时,它的斜率和倾斜角满足 (其中). 问题2 当直线的倾斜角由0逐渐增大到时,其斜率如何变化?为什么? 时,斜率不存在; 时,. 问题2 当直线的倾斜角由0逐渐增大到时,其斜率如何变化? 时,; 时,; 当时,直线与轴垂直,此时直线的斜率不存在. 问题2 当直线的倾斜角由0逐渐增大到时,其斜率如何变化? 当时,斜率,且随倾斜角的增大而增大; 当时,斜率,且随倾斜角的增大而增大; 由正切函数的单调性,倾斜角不同的直线,其斜率也不同. 因此,我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度,进而表示直线的方向. 由(其中)及(其中)知 (其中). 因此若直线的斜率为,它的一个方向向量的坐标为,则. 问题3 直线的方向向量与斜率有什么关系? 当时,直线与轴不垂直,其一个方向向量为. 问题3 直线的方向向量与斜率有什么关系? 当时,直线与轴垂直,其一个方向向量为. 注意:①直线的方向向量有无数多个; ②如果向量为直线的一个方向向量,那么对于任意的实数,向量都是的一个方向向量. 抽象概括 若是直线的斜率,则是它的一个方向向量;若直线的一个方向向量的坐标为,其中,则它的斜率. 例1 已知直线的倾斜角为,斜率为. (1)若,求斜率的取值范围; (2)若,求斜率的取值范围; 解 (1)由及正切函数的性质,可得,即, 所以斜率的取值范围是. 例1 已知直线的倾斜角为,斜率为. (2)若,求斜率的取值范围; 解 (2)由正切函数的图象可得当时,;当时,;当时,斜率不存在. 综上,斜率的取值范围是. 例1 已知直线的倾斜角为,斜率为. (3)若,求倾斜角的取值范围; (4)若,求倾斜角的取值范围. 解 (3)由,得.又,所以由正切函数的性质,得倾斜角的取值范围是. 例1 已知直线的倾斜角为,斜率为. (4)若,求倾斜角的取值范围. 解 (4)由正切函数的性质及图象知,当时,得; 当时,得. 综上 倾斜角的取值范围是. 例2 (1)已知直线的斜率为,求它的一个方向向量的坐标. (2)已知直线的一个方向向量为,求直线的倾斜角. (3)已知直线经过两点,求直线的斜率和倾斜角. 解:(1) 设(其中)为直线上的两点,则直线的一个方向向量. 例2 (1)已知直线的斜率为,求它的一个方向向量的坐标. 由经过两点的直线斜率的计算公式,可得,即. 所以. 因此,是直线的一个方向向量的坐标. 解(2)由直线的一个方向向量为, 可得斜率为, 又因为所以. 例2 (2)已知直线的一个方向向量为,求直线的倾斜角. 例2 (3)已知直线经过两点,求直线的斜率和倾斜角. 分析:两点坐标直线斜率倾斜角 解 由经过两点的直线斜率的计算公式可得直线的斜率, 又因为,所以直线的倾斜角. 1. 已知直线的一个方向向量为,求直线的斜率. 2. 已知直线的斜率为,求它的一个方向向量的坐标. 3.已知直线上有两点,求直线的斜率,并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角. $$