3.3.2.2空间向量长度与夹角的坐标表示 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示 南阳市五中 [教材要点] 要点　空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则(1)|a|＝＝________________； (2)cos 〈a，b〉＝＝________________________．(a≠0，b≠0) [基础自测] 1．已知向量a＝(1，3，3)，b＝(5，0，1)，则|a－b|等于(　　) A.7 B． C．3 D． 解析：|a－b|＝|(1，3，3)－(5，0，1)|＝|(－4，3，2)|＝＝.故选B. 答案：B 2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为(　　) A． B．或 C． D．或 解析：∵a·b＝1＋n＝3，∴n＝2， 又|a|＝，b＝(1，1，2)，∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 又〈a，b〉∈[0，π]， ∴向量a与b的夹角为. 若λ大于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为， 若λ小于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为π－＝，故选B. 答案：B 3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|a－b|＝________． 解析：由题，因为a⊥b，所以a·b＝－8＋2＋3x＝0，即x＝2， 所以b＝(－4，2，2)，则a－b＝(6，－1，1)， 所以|a－b|＝＝. 答案： 4．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________． 解析：∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈〉＝＝， 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝. 答案： 题型一　给定坐标求长度与夹角 例1　(1)长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则向量与所成角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)， B(1，2，0)，C1(0，2，2)． 所以＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)， 故，〉＝＝. 所以向量与所成角的余弦值为.故选B. 答案：B　 (2)已知△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：设＝λ，又＝(0，4，－3)． 则＝(0，4λ，－3λ)．＝(4，－5，0)，＝(－4，4λ＋5，－3λ)， 由·＝0，得λ＝－，∴＝(－4，)， ∴||＝5.故选C. 答案：C 方法归纳 解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围． 跟踪训练1　已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，计算： (1)|2a－b|； (2)cos 〈a，b〉． 解析：(1)∵a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)， ∴2a－b＝2(0，－1，1)－(2，2，1)＝(－2，－4，1)， ∴|2a－b|＝＝. (2)∵a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)， ∴a·b＝(0，－1，1)·(2，2，1)＝－2＋1＝－1， |a|＝，|b|＝＝＝3， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝－. 题型二　建系求长度与夹角 例2　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长． 解析：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G. 所以＝， ＝＝ ＝. 因为·＝×0＝0， 所以⊥，即EF⊥CF. (2)因为·＝×1＋×0＋＝， ||＝＝， ||＝＝， 所以cos 〈〉＝＝＝. 又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. (3)|CE|＝||＝＝. 方法归纳 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．   跟踪训练2　已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2). (