2.4.1直线与圆锥曲线的交点 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4．1　直线与圆锥曲线的交点 南阳市五中 [教材要点] 要点一　直线与椭圆的位置关系 设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组，消去y得：(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0. (1)Δ>0⇔方程组有两解⇔________⇔________； (2)Δ＝0⇔方程组有一解⇔________⇔________； (3)Δ<0⇔方程组无解⇔________⇔________． 两个交点 相交 一个交点 相切 无交点 相离 要点二　直线与双曲线的位置关系 设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组，消去y得(b2－a2k2)x2－2kma2x＋a2(m2＋b2)＝0. 1．二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点． 2．二次项系数不为0时，上式为一元二次方程． 3．(1)Δ>0⇔直线与双曲线________； (2)Δ＝0⇔直线与双曲线________； (3)Δ<0⇔直线与双曲线________． 相交 相切 相离 要点三　直线与抛物线的位置关系 相交 相切 相离 [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．(　　) (2)直线与双曲线有一个公共点，则直线与双曲线相切．(　　) (3)直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　) (4)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线，共可作3条．(　　) √ × × √ 2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 解析：联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交．故选C. 答案：C 3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　) A．2　　　B．± C．±2　　　D．±2 解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8. ∴m＝±2.故选C. 答案：C 4．直线l过点P(－2，4)，且与抛物线y2＝－8x有且只有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：由题意可知点P在抛物线上，过抛物线上一点可做一条切线，以及垂直于准线的一条直线，与抛物线只有一个公共点，共2条． 答案：2 题型一　直线与椭圆的交点问题 例1　(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离． 答案：C　 (2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是________． 答案：[，5) 解析：直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以≤1，即m≥，又0<m<5，故m∈[，5)． 方法归纳 直线与椭圆的位置关系判断 判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． 跟踪训练1　判断直线y＝2x－2与椭圆＝1是否有公共点，如有，求出公共点的坐标．   解析：联立直线与椭圆的方程，可得方程组， 解方程组可得或， 因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为(0，－2)，. 题型二　直线与双曲线的交点问题 例2　过点P(1，1)与双曲线＝1只有一个交点的直线有多少条？ 解析：利用图象定性解决 (1)直线与双曲线相切，有两条． (2)直线与渐近线平行，有两条． 所以过点P(1，1)与双曲线＝1只有一个交点的直线共有4条． 变式探究　将本例中的点(1，1)改为(1)A(3，4)，(2)B(3，0)，(3)C(4，0)，(4)D(0，0)结果又是怎样的？ 解析：(1)过A点有两条：垂直于x轴一条，平行于另一条渐近线1条． (2)过B点有1条：垂直于x轴一条． (3)过C点有两条：平行于两条渐近线各有一条． (4)过D点的没有． 方法归纳 直线与双曲线的位置关系的判断方法 1．代数法 将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解． 2．数形结合法 判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直