2.2.1双曲线及其标准方程课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1　双曲线及其标准方程 南阳市五中 要点一　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的__________________________________的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的________，________________叫作双曲线的焦距． 距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|) 焦点 两个焦点间的距离 　要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”． (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 要点二　双曲线的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝________ a2＋b2 (1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．   1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(　　) (3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(　　) (4)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．(　　) × √ √ × 2．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 答案：D 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1或＝1 D．＝0或＝0 解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C. 答案：C 4．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．   解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2. 答案：22或2 题型一　双曲线定义及其应用 例1　已知动圆 M与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解析：设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－， ∴|MC1|－|MC2|＝2. 又C1(－4，0)，C2(4，0)，∴|C1C2|＝8， ∴2<|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14， ∴点M的轨迹方程是＝1(x≥)． 方法归纳 (1)用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 跟踪训练1　已知在△ABC中，C(－2，0)，B(2，0)，sin B－sin C＝sin A，求顶点A的轨迹方程． 解析：由正弦定理及sin B－sin C＝sin A，得|AC|－|AB|＝|BC|<|BC|， 由双曲线的定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， ∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3， ∴顶点A的轨迹方程为x2－＝1(x>1)． 题型二　求双曲线的标准方程 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A(1，－)； 解析：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(