2023届新高考数学高频考点专项练习：专题四 考点11 函数与方程（B卷）

2023届新高考数学高频考点专项练习: 专题四 考点11 函数与方程(B卷) 1.已知函数.若存在2个零点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.设,,分别是方程,,的实根,则( ) A. B. C. D. 3.已知函数(,且)在R上单调递减,且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知函数(e为自然对数的底数),则方程的实数根的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知函数则函数的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知函数恒有零点,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知定义在R上的奇函数,满足,且当时,,若方程在区间上有四个不同的根,,,,则的值为( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 8. (多选)记函数的零点为,则关于的结论正确的为( ) A. B. C. D. 9. (多选)在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是( ) A. B. C. D. 10. (多选)已知函数是定义在上的偶函数,当时,则下列选项正确的是( ) A.函数的最大值为1 B.函数的最小值为0 C.函数的零点有无数个 D.函数的零点个数为14 11.已知a是实数,函数,若函数有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是_. 12.函数在上的所有零点之和为_. 13.已知函数,若关x的方程有三个不相等的实数解,则实数m的取值范围为_. 14.已知若函数(m为实数)有两个不同的零点,且,则的最小值为_. 15.已知函数,. (1)若为偶函数,求实数a的值; (2)当时,求函数的零点; (3)若方程在上有两个不同的实数根,,求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案:C 解析:存在2个零点等价于函数与的图象存在2个交点,如图, 当时,, 由图可知要满足与的图象存在2个交点, 需要,即.故选C. 2.答案:C 解析:对于,在同一直角坐标系中作函数与的图象,如图1所示, 可得; 对于,在同一直角坐标系中作函数与的图象,如图2所示, 可得; 对于,在同一直角坐标系中作函数与的图象,如图3所示, 可得或,故,故选C. 3.答案:C 解析:因为函数在R上单调递减,所以 解得, 作出及的大致图象,如图所示, 由图象知在上,有且仅有一个解, 故在上,同样有且仅有一个解. 当,即时,,即, 则, 解得或(舍去); 当,即时,由图象可知,符合条件. 综上,a的取值范围为0. 故选C. 4.答案:B 解析:由函数,可知方程,即,即,整理可得,即或.在方程中,,方程无实数解; 在方程中,,方程有2个不等的实数解. 综上可得,方程的实数根的个数为2.故选B. 5.答案:D 解析:的零点个数,即方程的根的个数.设,则.作出的图像,如图所示.结合图像可知,方程有3个实根,,,且有1个解,有3个解,有3个解.故方程有7个解,即函数有7个零点. 6.答案:D 解析:令, 得, 令,则, , 即, , 令, 则, 由恒成立知, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 时,, 时方程恒有根, 即, 故选D. 7.答案:A 解析:因为函数为R上的奇函数,所以,故函数的图象关于直线对称, 因为,故函数是周期为4的周期函数, 当时,, 因为函数、在上均为增函数,故函数在上也为增函数, 作出函数和在上的图象如下图所示: 设,由图可知,点与点关于直线对称, 点与点关于直线对称, 因此. 故选A. 8.答案:BC 解析:易知为单调递增函数,,且,所以函数存在唯一的零点,且,所以选项A错误,选项B正确;因为是函数的零点,所以,即,所以,即,所以选项C正确,选项D错误.综上可知,选BC. 9.答案:BC 解析:对于选项A,因为,所以无解,所以该函数不是“不动点”函数;对于选项B,令,得,因为,所以方程有两个不等的实数根,所以该函数为“不动点”函数;对于选项C,当时,令,得或,从而该函数为“不动点”函数;对于选项D,令,得,无解,因而该函数不是“不动点”函数.故选BC. 10.答案:ABC 解析:时,,当时,,当时,将在区间上的图象依次向右平移2个单位长度的同时,再将图象上所有点的纵坐标缩短为原来的,就可以得到函数在上的图象.又是偶函数,的图象关于轴对称.作出的图象如图所示. 由图可知选项A,B,C正确.令,得或,易知直线与的图象有6个交点,直线与函数的图象有10个交点,函数共有16个零点,选项D不正确.故选ABC. 11.答案: 解析:函数有且仅有两个零点,即函数与的图象有且仅有两个交点.分别作出函数